ARMA a ARIMA modely

ARMA procesy

• Autoregresný (AR) proces
  • Proces:
    
  • Podmienka stacionarity: korene charakteristického polynómu sú mimo jednotkového kruhu.
  • Podmienka invertovateľnosti: proces je vždy invertovateľný
  
  
• Proces kĺzavých priemerov (MA - moving average)
  • Proces:
    
  • Podmienka stacionarity: proces je vždy stacionárny.
  • Podmienka invertovateľnosti: korene charakteristického polynómu sú mimo jednotkového kruhu.
  
  
• ARMA proces
  • Proces:
    
  • Podmienka stacionarity: z AR časti procesu
  • Podmienka invertovateľnosti: z MA časti procesu
  
  

Autokorelačná (ACF) a parciálna autokorelačná funkcia (PACF) ARMA procesov

• Autokorelačná (ACF) a parciálna autokorelačná funkcia (PACF) ARMA procesov:
  
• Ukážky ACF a PACF procesov prvého rádu:
  
• Ukážky ACF a PACF procesov druhého rádu:
  

Cvičenie

Príklad 1: Rozdiel dlhodobej a krátkodobej úrokovej miery

• Dáta:
  • Zdroj dát: http://www.lboro.ac.uk/departments/ec/cup/data.html (dáta k učebnici Mills, Markellos: The Econometric Modelling of Financial Time Series)
  • Štvrťročné dáta, 1952Q1 - 2005Q4
  • Krátkodobá úroková miera: RSQ (91 day Treasury Bill rate)
  • Dlhodobá úroková miera: R20Q (Yield on 20 Year UK Gilts)
  • Workfile s dátami: spread.wf1
  • Vytvoríme premennú spread, ktorú budeme modelovať:
    
  • Môžeme si zobraziť jej priebeh:
    
  
  
• Odhad autokorelačnej a parciálnej autokorelačnej funkcie
  • Zobrazíme premennú (dvojkliknitím na jej názov vo workfile). Klikneme na Wiew - Correlogram. Potvrdíme, že chceme korelácie tejto premennej (t.j. levels, nie diferencie).
     
  • Dostaneme výstup, ktorý obsahuje autokorelačnú a parciálnu autokorelačnú funkciu:
    
  • Pozrime sa bližšie, čo všetko tento výstup obsahuje:
    
  
  
• Výber ARMA modelu
  • Pozrieme sa na priebeh ACF a PACF, porovnáme ich so známym priebehom teoretickej ACF a PACF procesov:
     
  • V tomto prípade sa teda rozhodneme pre AR(2) model.
  • Môže sa stať, že takýto jednoznačný úsudok nebudeme vedieť spraviť. Môžeme potom vyskúšať niekoľko modelov. Čo si treba na odhadnutom modeli všímať, ako zistiť, či je model vyhovujúci - tomu sa budeme venovať o chvíľu.
  
  
• Odhad modelu v EViews
  • V menu: Quick - Estimate Equation
  • Zapíšeme modelovanú premennú, konštantu, AR členy (ar(1), ar(2), ... ar(p)) a MA členy (ma(1), ma(2), ... ma(q)). V tomto prípade odhadujeme AR(2) model, zapíšeme teda:
    
  • Výstup:
    
  
  
• Podmienka stacionarity a invertovateľnosti
  • Podmienka staconarity - pre AR modely a pre ARMA modely (vychádza z AR časti modelu)
  • Podmienka invertovateľnosti - pre MA modely a pre ARMA modely (vychádza z MA časti modelu)
  • Obe podmienky overujeme pomocou príslušného polynómu - prevrátené hodnoty koreňov musia byť vnútri jednotkového kruhu. Tieto prevrátené hodnoty sú priamo v okne s odhadnutým modelom:
    
    Vidíme, že pre tento AR model je podmienka stacionarity splnená.
  • Ak výjdu komplexné korene, je praktické pozrieť si priamo ich absolútne hodnoty (namiesto ich ručného výpočtu). V okne s odhadnutou rovnicou klikneme na View, kde vyberieme ARMA Structure. Zobrazí sa okno ARMA Diagnostic View, v ktorom zvolíme Roots a spôsob zobrazenia výsleku v tabuľke (Table).
    
    Dostaneme:
    
  
  
• Rezíduá
  • Rezíduá musia byť bielym šumom, nemôže v nich zostať teda žiadna autokorelácia.
  • Táto podmienka sa dá testovať viacerými spôsobmi, jedným z nich je Ljung-Boxova štatistika, ktorú sme už použivali. Pre časový rad rezídií budeme teda testovať hypotézu, že autokorelácia do rádu k je nulová. Ak sa hypotéza nezamieta, model je v poriadku.
  • V okne s odhadnutou rovnicou klikneme na View a spomedzi Residual Tests vyberieme Correlogram - Q-Statistics:
    
    Dostaneme:
    
    Model, ktorý sme zostavili, je teda aj na základe tohto testu vyhovujúci.
  • Výpočet testovacej štatistiky je rovnaký ako predtým, keď sme počítali ACF pre zvolený časový rad. Ak ale časový rad predstavuje rezíduá, počet stupňov voľnosti závisí od toho, koľko ARMA členov obsahuje rovnica, z ktorej rezíduá vznikli. Preto je nevyhnutné, aby sme pracovali s oknom s rovnicou a testami z ponuky Residual Tests. Otvorením radu rezíduí a zobrazením jeho korelogramu by sme nedostali správne výsledky - pri výpočte P hodnôt by sa nezobrala do úvahy zmena počtu stupňov voľnosti.
  
  
• Záver
  • Na modelovanie rozdielu dlhodobej a krátkodobej úrokovej miery použijeme AR(2) model a na základe výstupu z EViews zapíšeme odhadnutú rovnicu, ktorou sa modelovaná premenná riadi (postup pre všeobecný ARMA model v nasledujúcom odstavci).

Zápis rovnice z výstupu EViews

• Predpokladajme, že sme odhadli ARMA(2,2) model a dostali nasledovný výstup:
  
• Potom model pre premennú Y je:
  
• Cvičenie: Zapíšte rovnicu AR(2) modelu z predchádzajúceho príkladu.

Príklad 2: Ceny kakaa

• Ben Vogelvang: Econometrics. Theory and Applications with EViews.
  Kapitola 14.7. - The Box-Jenkins Approach in Practice
• Dáta:
  • Mesačné dáta, január 1960 - september 2002
  • Dáta vo formáte xls: na stránke učebnice, súbor pcoccoftea.xls, zaujímajú nás hodnoty pcocoa
  • Dáta načítané do workfilu: [pcocoa.wf1]
• Zopakujeme výpočty z učebnice:
  • Budeme modelovať logaritmus ceny, zostavíme ARMA model pre diferencie tohto logaritmu.
  • Odhadneme MA(1) a ARMA(1,2) modely.
  • Potom model ARMA (1,2) odhadneme len s dátami z obdobia január 1960 - máj 2001. Pre zostávajúce mesiace spravíme predikciu pre log(pcocoa) a porovnáme ju so skutočným vývojom.

• Poznámky:
  • Modelovanie logaritmu premennej:
    • V niektorých prípadoch môže zlogaritmovanie premennej viesť k stabilizovaniu variancie. Modelovaniu variancie sa budeme venovať v nasledujúcich cvičeniach.
    • Ak pracujeme s diferenciami časového radu, tieto sa dajú interpretovať ako relatívne zmeny (napr. relatívne zmeny ceny), výnosy (napr. výnosy akcií) a pod.
    
    
  • Modelovanie diferencií premennej:
    • Ak je potrebné spraviť diferencie na získanie stacionárneho časového radu, o pôvodnom rade sa hovorí, že je integrovaný.
    • Neskôr sa budeme zaoberať štatistickými testami, podľa ktorých budeme schopní rozhodnúť, či môžeme s daným časovým radom pracovať, alebo ho treba zdiferencovať. Nateraz nám bude stačiť grafické "pravidlo" - na nestacionárny časový rad, ktorý treba zdiferencovať, nasvedčuje autokovariančná funkcia, ktorá klesá veľmi pomaly.
      
    • Ak pre diferenciu (prvú, prípadne druhú alebo tretiu, vyššie sa prakticky nepoužívajú) vytvoríme model, pre pôvodnú premennú sme vytvorili ARIMA model.
  
  
• Postup:
  • V okne s odhadnutým modelom klikneme na Forecast.
    
  • Výstup: nasledovný graf a premenné logpcocoaf, logpcocoaSE vo workfile
    
  • Môžeme porovnať predikcie so skutočnými hodnotami:
    

Cvičenia

1. V modeli ceny kakaa z predchádzajúceho príkladu zostrojte predikcie pre vývoj ceny (teda nie logaritmu). Nakreslite ich do grafu spolu s intervalmi spoľahlivosti a skutočným priebehom ceny.

2. Zo stránky http://www.stat.pitt.edu/stoffer/tsa2/ si stiahnite dáta cmort.dat a nájdite pre ne vhodný model.

3. G. Kirchgässner, J. Wolters: Introduction to Modern Time Series Analysis, example 2.2:
   

   

   Zistite, či sa takýto model pre volebné preferencie vládnej strany dá použiť aj na Slovensku. Nájdite potrebné dáta a zistite, či je na ich modelovanie vhodný AR(1) proces. Ak áno, zostrojte predikcie (na rok, do volieb a pod.). Čo ak použijeme preferencie inej strany?