Jednotkový koreň, integrované procesy

• Na predchádzajúcom cvičení sme zostavovali model pre D(log(pcocoa)), s odôvodnením, že samotný logaritmus log(pcocoa) nie je stacionárny, ale diferencie stacionárne sú.
• Ako zistiť, že premennú treba diferencovať? Ako overiť, že diferencovanie viedlo k stacionárnemu časovému radu?

Jednotkové korene, integrované procesy, rád integrácie

• Korene charakteristického polynómu AR procesu musia byť v absolútnej hodnote menšie ako 1, jednotkový koreň spôsobuje nestacionaritu procesu. Ak je násobnosť jednotkového koreňa 1, tak prvé diferencie sú stacionárne. Ak je násobnosť jednotkového koreňa 2, tak druhé diferencie sú stacionárne. Rovnako pre vyššie násobnosti.
• Ak je násobnosť jednotkového koreňa k, tak k-te diferencie procesu sú stacionárne, hovoríme o integrovanom procese rádu k, ozn. I(k).
• Ako sa prejavuje I(k) proces:
  • I(1) - lineárny trend (mnohé ekonomické premenné)
  • I(2) - trend v rýchlosti rastu (napr. ceny a mzdy v niektorých obdobiach inflácie)
  • I(3) - exponenciálny trend v rýchlosti rastu (napr. cenová úroveň počas hyperinflácie - medzivojnové Nemecko, Maďarsko po druhej svetovej vojne)
  Integrované procesy vyššieho rádu sa nevyskytujú.
• Pomôcka pri práci s dátami: typický pribeh autokorelačnej funkcie procesu s jednotkovým koreňom - korelácie klesajú veľmi pomaly:
  
• Postup:
  1. Testujeme pôvodný časový rad. Ak nemá jednotkový koreň, máme stacionárny časový rad koniec. Ak jednotkový koreň má, treba zistiť jeho násobnosť - krok 2.
  2. Testujeme prvé diferencie. Ak nemajú jednotkový koreň, násobnosť jednotkového koreňa v pôvodnom rade je 1. Je to I(1) proces, prvé diferencie sú stacionárne. - koniec. Ak aj prvé diferencie majú jednotkový koreň, násobnosť pôvodného koreňa je aspoň 2 - ideme na krok 3.
  3. Testujeme druhé diferencie. Ak nemajú jednotkový koreň, násobnosť jednotkového koreňa v pôvodnom rade je 2. Je to I(2) proces, druhé diferencie sú stacionárne. - koniec.

  Vo výnimočných prípadoch (pozri interpretáciu v predchádzajúcej časti) má zmysel v prípade nezamietnutia jednotkového koreňa pre druhé diferencie ísť ďalej a testovať, či ide o I(3) proces. Ako už bolo spomínané, integrované procesy vyšších rádov sa prakticky nepoužívajú.

ADF (augmented Dickey-Fuller) test

• Nulová hypotéza: časový rad má jednotkový koreň

• Pracovať budeme s dátami z predchádzajúceho cvičenia o cenách kakaa ([pcocoa.wf1]), konkrétne s logaritmom ceny - s premennou log(pcocoa).
• V okne so zvolenou premennou klikneme na View - Unit Root Tests:
  
   
• Výsledok:
  

  Zvolili sme najvšeobecnejší prípad - regresiu s trendom a inteceptom. Teraz vidíme, že trend nie je signifikantný, po jeho vynechaní sa nesignifikantným ukáže aj intercept. Preto môžeme v okne so špecifikáciou testu v časti Include in test equation zvoliť None. Dostaneme:

  

• Zisitili sme teda jednotkový koreň. Teraz treba zistiť jeho násobnosť. Testujeme teda prítomnosť jednotkového koreňa pre rad prvých diferencií, v časti Test for unit root in zvolíme 1st differences. Dostaneme:
  

  Prvé diferencie už teda jednotkový korň nemajú. Časový rad log(pcocoa) je teda I(1) - integrovaný proces prvého rádu. Prvé diferencie D(log(pcocoa)) sú stacionárne, a teda na ARMA modelovanie treba použiť tie. Pre pôvodnú premennú log(pcocoa) to znamená ARIMA proces.

• Terminológia: Pre diferencie D(log(pcocoa)) sme na minulom cvičení odhadli model ARMA(1,2) - t.j. 1 autoregresný AR člen a 2 moving average MA členy. Model pre pôvodnú premennú log(pcocoa) sa potom označuje ako ARIMA(1,1,2) - prvý parameter 1 predstavuje počet autoregresných členov (AR), druhý parameter 1 predstavuje rád integrovania (I), tretí parameter 2 predstavuje počet moving average členov (MA)

Cvičenie 1: Deflátor hrubého národného produktu

• Deflátor HDP, štvrťročné dáta, 1950-1983: [deflator.wf1]
• Zdroj dát: http://pages.stern.nyu.edu/~wgreene/Text/econometricanalysis.htm - stránka učebnice W. Greene: Econometric Analysis
• Pracovať budeme s logaritmami, t.j. s novou premennou log(deflator).

• Zistite rád integrácie daného časového radu. Akú premennú môžeme použiť na ARMA modelovanie?
• Zostavte pre premennú z predchádzajúcej otázky vhodný ARMA model. Aký model dostávame pre pôvodnú premennú? Napíšte odhadnutú rovnicu.
• Vynechajte niekoľko posledných rokov a odhadnite model bez nich. Spravte predikcie pre vynechané hodnoty a porovnajte ich so skutočnými.

Cvičenie 2: Nezamestnanosť

• Miera nezamestnanosti v USA, ročné dáta, 1948 - 2007: [nezamestnanost.wf1],
• Zdroj dát: http://www.econstats.com

• Nájdite vhodný ARMA, resp. ARIMA model pre tieto dáta a napíšte odhadnutú rovnicu.
• Použite model na konštrukciu predikcií.

Cvičenie 3: Výnosy akcií

• Ceny akcií Google, týždenné dáta za posledný rok: [google.wf1]
• Zdroj dát: http://finance.google.com
• Budeme pracovať s výnosmi (pri spojitom úročení), t. j. log(S_t/S_t-1)
  

• Nájdite vhodný ARMA, resp. ARIMA model pre výnosy a napíšte odhadnutú rovnicu.

Cvičenie 4: Hyperinflácia

Hodnota bankoviek v Nemecku v r. 1923 (http://en.wikipedia.org/wiki/Weimar_Republic)

Cost of living (relatívne hodnoty, 1 = rok 1913), Nemecko, mesačné dáta od januára 1922 do júna 1923: [hyperinflacia.wf1] Zdroj: http://www.business.uiuc.edu/lneal/hyperinflation1.htm Zobrazte priebeh dát. Na začiatku sme spomínali, že na modelovanie období hyperinflácie môže byť vhodný I(3) proces. Zistite, či sa takýto model dá použiť aj v tomto prípade (t. j. či treba dáta až trikrát diferencovať).

Trochu literatúry... ;) Ako opisuje hyperinfláciu E. M. Remarque v románe Čierny obelisk:

http://www.kiwi-verlag.de/36-0-buch.htm?isbn=9783462027259#leseprobe

Cvičenie 5: Price-earnings ratio

Na stránke http://eu.wiley.com/legacy/wileychi/verbeek2ed/datasets.html (dáta k učebnici Marno Verbeek: A Guide to Modern Econometrics, 2nd Edition) si stiahnite súbor price/earnings ratio. Je to zip archív, obsahuje aj EViews workfile, v textovom súbore je popis premenných (obr. vľavo) Budeme pracovať s premennou logpe, t. j. s logaritmom podielu price (S&P composite stock price index) a earnings (S&P composite earnings index). Testujte prítomnosť jednotkového koreňa, zistite, či proces treba diferencovať a ak áno, koľkokrát. Nájdite vhodný ARMA, resp. ARIMA model.

Prečo je zaujímavé zaoberať sa takýmito premennými? Jeden pohľad na ich vyžitie je v nasledovnom článku:

John Y. Campbell, Robert J. Shiller: Valuation Ratios and the Long-Run Stock Market Outlook: An Update. NBER Working Paper No. W8221, April 2001.

Abstract:
The use of price earnings ratios and dividend-price ratios as forecasting variables for the stock market is examined using aggregate annual US data 1871 to 2000 and aggregate quarterly data for twelve countries since 1970. Various simple efficient-markets models of financial markets imply that these ratios should be useful in forecasting future dividend growth, future earnings growth, or future productivity growth. We conclude that, overall, the ratios do poorly in forecasting any of these. Rather, the ratios appear to be useful primarily in forecasting future stock price changes, contrary to the simple efficient-markets models. This paper is an update of our earlier paper (1998), to take account of the remarkable behavior of the stock market in the closing years of the twentieth century.

Dá sa stiahnuť na stránke http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=266191 kliknutím na NBER Subscribers Download.

Cvičenie 6: Parita kúpnej sily

• Testovanie stacionarity má aj iné aplikácie, ako je príprava dát na zostavenie ARMA modelu.

• Marno Verbeek: A Guide to Modern Econometrics, 2nd Edition, kapitola 8.5
• Parita kúpnej sily:
  
  Súvislosť so stacionaritou časového radu:
  
  Referencia spomínaná v texte:
  

• Dáta: purchasing power parityna stránke http://eu.wiley.com/legacy/wileychi/verbeek2ed/datasets.html:
  
  Použite tieto dáta na overenie PPP pomocou testovania stacionarity.

Cvičenie 7: Relatívne ceny

• Testovanie stacionarity relatívnej ceny:
• Parita kúpnej sily:
  
  
  Zdroj: An Introduction to Quantitative Techniques in Competition Analysis. Lexecon Ltd. (http://www.lexecon.co.uk)

• Stiahnite si zo stránky http://www.ers.usda.gov/Data/MeatPriceSpreads/ historické dáta cien mäsa:
  
  Vyberte z nich stĺpec retail value pre bravčové a hovädzie mäso.
  
  Testujte stacionaritu relatívnej ceny.