---
title: "Ukážka zadania na skúške: Autokorelácie časového radu"
output: html_document
---
 
Budeme pracovať s dátami z knižnice `datasets`, konkrétne `nhtemp`. Podľa popisu v helpe:
*The mean annual temperature in degrees Fahrenheit in New Haven, Connecticut, from 1912 to 1971.*

```{r}
library(datasets)
plot(nhtemp)
```

Zoberieme posledných hodnôt tohto časového radu a budeme pracovať s nimi.
Bude nás zaujímať, či ich môžeme považovať za biely šum posunutý o konštantu, a preto budeme zisťovať, či majú signifikantnú autokoreláciu alebo nie.

```{r}
y <- window(nhtemp, start=1947)
length(y)
plot(y)
```

Zobrazíme autokorelačnú funkciu po lag 10:

```{r}
acf(y, lag.max = 10)
```

> **Otázka 1:** Pre ktoré autokorelácie (pre lagy od 1 do 10, ktoré sú zobrazené na grafe) zamietame hypotézu o nulovosti korelácií na hladine významnosti 0.05?
 
Zobrazme si teraz numerické hodnoty autokorelácií:

```{r}
acf(y, lag.max = 10, plot = FALSE)
```

> **Otázka 2:** Uvažujme autokoreláciu s najväčšou absolútnou hodnotou. Ak testujeme jej nulovosť, aká je získaná p-hodnota? Čo to znamená - pre aké hladiny významnosti by sme túto hypotézu zamietli?

*Poznámka:* Na prednáške použijeme zaokrúhlnú hodnotu z výstupu, na cvičení si vyskúšame, ako pristupovať k jednotlivým zložkám autokorelačnej funkcie.

```{r}
pnorm(-0.285, mean=0, sd=1/5, lower.tail=T)*2
```

> **Otázka 3:** Ljung-Boxovým testom budeme testovať hypotézu, že prvé tri autokorelácie sú nulové.
 Vypočítajte hodnotu testovacej štatistiky pomocou zaokrúhlených hodnôt autokorelácií z horeuvedeného výstupu.  Napíšte kritickú hodnotu testu, ak použijeme 5 percentnú hladinu významnosti a záver - zamietame nulovú hypotézu alebo nie?

```{r}
r1 <- 0.012; r2 <- 0.281; r3 <- -0.089
LB <- (27/24 * r1^2 + 27/23 * r2^2 + 27/22 * r3^2)*25
LB

qchisq(0.95, df=3, lower.tail = T)

```

> **Otázka 4:** Testujte teraz hypotézu z predchádzajúceho bodu pomocou presných dát v R-ku a 
napíšte dosiahnutú p-hodnotu.

```{r}
Box.test(y, lag=3, type="Ljung")
```

> **Otázka 5:** Ako sa zmení odpoveď na predchádzajúcu otázku, ak dáta prevedieme na stupne Celsia?

> **Otázka 6:** Aké dostaneme p-hodnoty pri testovaní, že  autokorelácie rádu $1, 2, \dots, k$ sú súčasne nulové (postupne $k \in \{1, 2, \dots, 10\}$)? Aký záver z toho spravíte ohľadom otázky z úvodu, či majú dáta signifikantnú autokoreláciu alebo nie?

```{r}
for (i in 1:10) print(Box.test(y, lag=i, type="Ljung")$p.value)
```