Budeme pracovať s dátami z knižnice datasets, konkrétne nhtemp. Podľa popisu v helpe: The mean annual temperature in degrees Fahrenheit in New Haven, Connecticut, from 1912 to 1971.

library(datasets)
plot(nhtemp)

Zoberieme posledných hodnôt tohto časového radu a budeme pracovať s nimi. Bude nás zaujímať, či ich môžeme považovať za biely šum posunutý o konštantu, a preto budeme zisťovať, či majú signifikantnú autokoreláciu alebo nie.

y <- window(nhtemp, start=1947)
length(y)
## [1] 25
plot(y)

Zobrazíme autokorelačnú funkciu po lag 10:

acf(y, lag.max = 10)

Otázka 1: Pre ktoré autokorelácie (pre lagy od 1 do 10, ktoré sú zobrazené na grafe) zamietame hypotézu o nulovosti korelácií na hladine významnosti 0.05?

Zobrazme si teraz numerické hodnoty autokorelácií:

acf(y, lag.max = 10, plot = FALSE)
## 
## Autocorrelations of series 'y', by lag
## 
##      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9 
##  1.000  0.012  0.281 -0.089  0.270 -0.210 -0.012 -0.087  0.056 -0.285 
##     10 
## -0.091

Otázka 2: Uvažujme autokoreláciu s najväčšou absolútnou hodnotou. Ak testujeme jej nulovosť, aká je získaná p-hodnota? Čo to znamená - pre aké hladiny významnosti by sme túto hypotézu zamietli?

Poznámka: Na prednáške použijeme zaokrúhlnú hodnotu z výstupu, na cvičení si vyskúšame, ako pristupovať k jednotlivým zložkám autokorelačnej funkcie.

Otázka 3: Ljung-Boxovým testom budeme testovať hypotézu, že prvé tri autokorelácie sú nulové. Vypočítajte hodnotu testovacej štatistiky pomocou zaokrúhlených hodnôt autokorelácií z horeuvedeného výstupu. Napíšte kritickú hodnotu testu, ak použijeme 5 percentnú hladinu významnosti a záver - zamietame nulovú hypotézu alebo nie?

Otázka 4: Testujte teraz hypotézu z predchádzajúceho bodu pomocou presných dát v R-ku a napíšte dosiahnutú p-hodnotu.

Otázka 5: Ako sa zmení odpoveď na predchádzajúcu otázku, ak dáta prevedieme na stupne Celsia?

Otázka 6: Aké dostaneme p-hodnoty pri testovaní, že autokorelácie rádu \(1, 2, \dots, k\) sú súčasne nulové (postupne \(k \in \{1, 2, \dots, 10\}\))? Aký záver z toho spravíte ohľadom otázky z úvodu, či majú dáta signifikantnú autokoreláciu alebo nie?