Cvičenia z finančných derivátov

Cvičenie 2: Stochastické procesy

Opakovanie:

Cvičenie 1

Vytvorte realizáciu Wienerovho procesu w(t) na intervale [0,1] s krokom 0.001. Vykreslite jej priebeh.
Aké je pravdepodobnostné rozdelenie prírastku w(t+)-w(t)?
Aké je pravdepodobnostné rozdelenie prírastku w(10)-w(5)?
Aké je pravdepodobnostné rozdelenie hodnoty w(10)?

Cvičenie 2

Vytvorte realizáciu Brownovho pohybu x(t)=-t+0.2 w(t) na intervale [0,1] s krokom 0.001. Zakreslite jej priebeh do grafu, spolu so strednou hodnotou tohto procesu v každom čase.

Vytvorte realizáciu procesu x(t)=10-t+0.2 w(t) na intervale [0,10] s krokom 0.001. Zakreslite jej priebeh do grafu, spolu so strednou hodnotou tohto procesu v každom čase.

Vytvorte realizáciu procesu x(t)=exp(w(t)) na intervale [0,5] s krokom 0.001. Zakreslite jej priebeh do grafu, spolu so strednou hodnotou tohto procesu v každom čase.

Stochastické diferenciálne rovnice

Doteraz sme mali predpis procesu x(t) zadaný explicitne v tvare x(t)=.... Teraz ukážeme iný zápis - pomocou diferenciálov.

Príklad 1 - nenáhodná funkcia
- Explicitné vyjadrenie funkcie: x(t)=2t
- Vyjadrenie pomocou diferenciálov: dx(t)=2 dt - obyčajná diferenciálna rovnica pre funkciu x(t). Rovnica so začiatočnou podmienkou určuje riešenie.
Príklad 2 - nenáhodná funkcia
- Explicitné vyjadrenie funkcie: x(t)=exp(t)
- Vyjadrenie pomocou diferenciálov: dx(t)=x(t) dt - obyčajná diferenciálna rovnica pre funkciu x(t). Rovnica so začiatočnou podmienkou určuje riešenie.
Analógia pre náhodné funkcie
- Okrem časového diferenciálu dt aj diferenciál Wienerovho procesu dw(t) - prírastok w(t) na nekonečne malom časovom intervale
- Výrazy typu:
  - dx(t)=2 dt + 3 dw(t), x(0)=0 - to je Brownov pohyb x(t)=2t + 3w(t)
  - dx(t)= 10[1-x(t)] dt + 0.25 dw(t), x(0)=0.5 - proces tohto typu sa naýva Ornstein-Uhlenbeckovej proces - na jeho priebeh sa teraz pozrieme
Ornestein-Uhlenbeckovej proces
- Všeobecný tvar procesu:
  
  kde sú kladné konštatny
- Aký priebeh očakávame na základe deterministickej časti procesu?
- Simulácia procesu - diferenciály nahradíme prírastkami na malom časovom intervale:

Cvičenie 3
Vytvorte realizáciu procesu dx(t)= 10[1-x(t)] dt + 0.25 dw(t), x(0)=1.5 na intervale [0,2] s krokom 0.001. Zakreslite jej priebeh do grafu

Cvičenie 4
Všímajte si zmenu typického priebehu procesu pri zmene parametrov:

Vytvorte realizáciu procesu dx(t)= 10[2-x(t)] dt + 0.5 dw(t), x(0)=1.5 na intervale [0,2] s krokom 0.001 a zakreslite jej priebeh do grafu.

Vytvorte realizáciu procesu dx(t)= 10[2-x(t)] dt + 0.1 dw(t), x(0)=1.5 na intervale [0,2] s krokom 0.001 a zakreslite jej priebeh do grafu.

Vytvorte realizáciu procesu dx(t)= 25[2-x(t)] dt + 0.25 dw(t), x(0)=1.5 na intervale [0,2] s krokom 0.001 a zakreslite jej priebeh do grafu.

Stochastické diferenciálne rovnice

Pre nenáhodnú funkciu vieme derivovaním napísať obyčajnú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa. Napr. pre x(t)=x²(t) platí dx(t)=2 x(t) dt.
Ako derivovať náhodné funkcie?

Príklad: ako zderivovať funkciu x(t)=exp(w(t))
Pokus 1:

Cvičenie 5
Uvažujme proces x(t)=exp(w(t)).

Aká je stredná hodnota procesu v čase 10?

Vygenerujte 1000 realizácií tohot procesu a zaznamenávajte hodnotu v čase 10. Vypočítajte priemer z týchto hodnôt.

Vygenerujte 1000 realizácií procesu dy(t)=y(t) dw(t). a zaznamenávajte hodnotu v čase 10. Vypočítajte priemer z týchto hodnôt.

Porovnajte získané priemery so skutočnou strednou hodnotou.

V čom je problém:

teda pre danú hodnotu y(t) je stredná hodnota prírastku nulová. Ale stredná hodnota procesu x(t)=exp(w(t)) s časom rastie.
Pokus 2 - dobrý:
Zapíšeme x(t)=f(w) kde f(w)=exp(w) a počítame

lebo (dw)² je rádu dt (stredná hodnota (dw)² je dt) a ostatné členy sú vyššieho rádu (dt a dw vo vyššej mocnine).
Takže

Cvičenie 6

Vygenerujte 1000 realizácií procesu

a zaznamenávajte hodnotu v čase 10. Vypočítajte priemer z týchto hodnôt.
Porovnajte s predchádzajúcim cvičením.

Ďalšie procesy, ktorých diferenciál nájdeme rovnakým spôsobom:

Cvičenia z finančných derivátov
Beáta Stehlíková, 2007