Závislosť ceny call opcie od volatility akcie

• Na predchádzajúcom cvičení a v DÚ: graf závislosti, ekonomická interpretácia.
• Dokážeme uvedenú monotónnu závislosť analyticky - vypočítame deriváciu a určíme jej znamienko (Derivácia distibučnej funkcie je funkcia hustoty)
• Aká je limita ceny opcie, ak volatilita ide do nekonečna? (Hypotéza na základe grafu a analytický dôkaz.)
• Aká je limita ceny opcie, ak volatilita ide k nule? (Hypotéza na základe grafu a analytický dôkaz.) Prečo je logické, že táto limita závisí od vzťahu aktuálnej ceny akcie a expiračnej ceny?

Závislosť ceny call opcie od ceny akcie

• Na základe grafu môžeme vysloviť niekoľko hypotéz:
  • V je rastúca funkcia S
  • Ak S0, tak V0.
  • Ak S, tak sa cena opcie približuje k payoff diagramu, takže by mohlo platiť
    
    
• Ekonomická interpretácia:
  • Ak sa cena akcie blíži k nule, znižuje sa pravdepodobnosť, že opciu uplatníme - opcia sa stáva bezcennou.
  • Ak S, tak
    • Opcia sa zrejme bude realizovať, teda v čase expirácie dostaneme akciu a zaplatíme E, po odúročení tejto platby na súčasnú hodnotu vyslovíme hypotézu
      
      
    • Taká istá úvaha ako predtým, len dodáme, že pre S je E (aj súčasná hodnota) zanedbateľná, takže očakávame
      
      
  • Ak je vyššia súčasná cena akcie, zvyšuje sa pravdepodobnosť, že ju uplatníme a dosiahneme zisk. Rovnako sa zvyšuje pravdepodobnosť vysokých cien akcie, a teda vysokého zisku z realizácie opcie.
• Matematicky:
  • Vypočítame limitu V pre S - ukážeme, že sa rovná 0.
  • Platia všetky tri navrhnuté aproximácie pre S. Graficky vidíme, že sa líšia kvalitou aproximácie pre konečné hodnoty S.
  • Derivácia V podľa S je N(d₁), čo je vždy kladné číslo. Teda V je rastúcou funkciou premennou S.

Závislosť ceny call opcie od expiračnej ceny

• V poslednej úlohe: graf závislosti
• Teraz: výpočet derivácie, jej znamienko.

Závislosť ceny call opcie od času do expirácie

• Graf závislosti: čas do expirácie na x-ovej osi, cena opcie na y-ovej osi
• Výpočet derivácie, jej znamienko.

Závislosť ceny call opcie od úrokovej miery

• Graf závislosti: úroková miera na x-ovej osi, cena opcie na y-ovej osi
• Výpočet derivácie, jej znamienko.

Výsledky derivovania

Put opcie

• Call-put parita:
  • Uvažujme portfólio zložené z mínus jednej call opcie, jednej put opcie (na tú istú akciu, s rovnakou expiračnou cenou E a rovnakým expiračným časom) a jednej príslušnej akcie.
  • V čase expirácie je hodnota portfólia E.
  • Preto ak do expirácie zostáva čas , hodnota portfólia je - cenu callu poznáme, takže môžeme vyjadriť cenu putu.
  
  
• Nakreslite cenu put opcie v závislosti od aktuálnej ceny akcie pre zvolené hodnoty parametrov.
• Vypočítajte limitu ceny put opcie pre S a pre S0.
• Dokážte, že graf ceny put opcie v závislosti od aktuálnej ceny akcie vždy pretne payoff diagram.
• Ako závisí cena put opcie od parametrov?