Transakčné náklady

• Lelandov model (Hayne E. Leland: Option Pricing and Replication with Transactions Costs, 1985)
• S_bid, S_ask - definujeme
  • S=(S_bid + S_ask)/2
  • c=(S_ask - S_bid)/S
• Transakčné náklady na jednu transakciu: (c/2)S

• Aké by malo byť c? Zrátajme si na ukážku, čomu sa rovná pre tieto akcie: (Ide o bid a ask ceny iba v jednom konkrétnom okamihu, pre presnejší odhad by sme potrebovali viac dát.)
  
  
  

• Replikačné portfólio v Black-Scholesovom modeli: 1 opcia, , akcií spojité obchodovanie.
• V prípade transakčných nákladov: 1 opcia, akcií, portfólio meníme v intervaloch dĺžky , počet transakcií je
  
• Zmena hodnoty portfólia:
  
• Odvodíme rovnicu:
  

• Pre call a put opciu:
  
• Definujeme Lelandovo číslo
  
• Pre Lelandovo číslo z intervalu (0,1) dostávame cenu call, resp. put opcie pomocou Black-Scholesovho vzorca s upravenou volatilitou:
  

Cvičenie 2 Napíšte funkciu, ktorá počíta hodnotu Lelandovho čísla (v závislosti of volatility akcie, konštanty c, intervalu medzi dvoma zaisteniami portfólia). Napíšte funkciu, ktorá overí podmienku, že Lelandovo číslo je z intervalu (0,1). Ak je splnená, vypočíta hodnotu call a put opcie za prítomnosti transakčných nákladov (parametre: cena akcie, expiračná cena, volatilita, čas do expirácie, úroková miera, konštanta c, interval medzi dvoma zaisteniami portfólia).

Cvičenie 3 Uvažujme akcie firmy Google. Máme odhadnutú volatilitu akcie. Za parameter c zoberme hodnotu získanú na začiatku cvičenia. Pre aké dĺžky intervalu medzi dvoma zmenami portfólia je splnená podmienka, že Lelandovo číslo je z intervalu (0,1)

Cvičenie 3 Stiahnite si ceny akcií MSFT a YHOO a odhadnite z nich volatilitu. (Postup je v prvom cvičení. Na kontrolu výpočtu môžete použiť ceny GOOG z tohto cvičenia.) Zopakujte predchádzajúce cvičenie s týmito akciami.

Poznámky:

• Ako voliť dĺžku intervalu medzi dvoma nasledujúcimi zmenami portfólia? Existujú modely (RAPM - Risk Adjusted Pricing Methodology), ktoré berú do úvahy dve veci:
  • transakčné náklady - tie sa klesajú, keď rastie dĺžka časového intervalu medzi dvoma nasledujúcimi zmenami portfólia
  • riziko z nezabezpečeného portfólia - ak rastie dĺžka tohto časového intervalu, vzniká stále väčšie riziko z výkyvov cien na trhu, keďže naše portfólio sa vzďaľuje od replikačného portfólia zo spojitého modelu
  Dá sa to znázorniť nasledovne:
  

• Rovnica na oceňoavanie derivátov v Lelandovom modeli s transakčnými nákladmi
  
  nie je lineárna. To znamená, že napríklad súčet, rozdiel, alebo nejaká iná kombinácia riešení už nie je riešením. Z toho vyplýva, že cena kombinovaných stratégií sa už nedá vypočítať tak, že oceníme každú opciu zvlášť a výsledok zložíme. (To sa dá len pri lineárnych rovniciach, ako je napríklad pôvodná Black-Scholesova rovnica.) Nemožnosť takéhoto výpočtu sa dá vidieť aj z nasledovnej úvahy:

  Ak oceníme každú opciu samostatne, zarátavame tak transakčné náklady vznikajúce z udržiavania každého replikačného portfólia zvlášť. Ak nemáme transakčné náklady, nevadí, že udržiavame akoby dve replikačné portfóliá. Môže sa stať, že v jednom akcie kupujeme a v druhom predávame. Žiadne náklady z toho však nevznikajú. V prípade transakčných nákladov to už nie je pravda. Vtedy treba portfólio uvažovať ako celok, a v prípade uvedenej situácie nerobiť zbytočné transakcie.

Greeks

• Vrátime sa k pôvodnému Black-Scholesovmu modelu. Zaoberali sme sa závislosťou ceny opcií od jednotlivých parametrov. Vypočátali sme príslušné derivácie a určili ich znamienko. Má však zmysel všímať si aj priebeh týchto derivácií.

• Príklad: derivácia podľa expiračnej ceny.
  • Približne platí:
    
    To znamená, že veľkosť zmeny ceny opcie pri zmene expiračnej ceny je určená touto deriváciou.
  • Pozrime sa na reálne dáta - ceny call opcií na akcie GOOG (začiatok cvičenia 6). Expiračné ceny rastú po 10 USD. Pre aké expiračné ceny je zmena cien príslušných opcií väčšia? Čo to hovorí o našom očakávaní priebehu derivácie V podľa E?
  • Nakreslite graf závisloti uvedenej derivácie od E (ostatné parametre sú fixované).
  
  
• Príklad: derivácia podľa ceny akcie
  • V odvodení Black-Scholesovej rovnice - replikačné portfólio obsahuje jednu opciu, počet opcií je derivácia V podľa S so záporným znamienkom.
  • Nakreslite závislosť tejto derivácie od času do expirácie - pre opciu, ktorá je out-of-money a pre opciu in-the-money. Vypočítajte limity pre čas idúci do expirácie idúci k nule a pre čas do expirácie idúci do nekonečna. Interpretujte výsledky ekonomicky.
  
  
• Greeks - označenie pre jednotlivé derivácie
  • Delta - derivácia podľa ceny akcie
  • Gama - druhá derivácia podľa ceny akcie
  • Vega - derivácia podľa volatility akcie
  • Theta - derivácia podľa času zostávajúceho do expirácie
  • Rho - derivácia podľa úrokovej miery