Cvičenia z finančných derivátov

Cvičenie 8: Black - Scholesova rovnica: numerické rieenie

Načo riei rovnicu numericky, keď máme jej explicitné rieenie?
- Explicitné rieenie máme pre európsku call a put opciu. Pre iné deriváty takýto vzorec nemusí existova. (To je prípad napríklad amerických call a put opcií, ktorými sa ete budeme zaobera. A mnohých ďalích.) Rieenie sa vak dá nájs numericky.
- To, e pouitie numerických schém vyskúame najskôr na prípade, v ktorom máme k dispozícii explicitné rieenie, má tú výhodu, e môeme overi presnos získaných numerických výsledkov.

Black-Scholesova rovnica:

- je to parabolická PDR, ktorá sa dá transformova na rovnicu vedenia tepla so zadanou začiatočnou podmienkou.
V čom sa B-S rovnica od nej líi:
- Máme koncovú podmienku čase T (čas expirácie opcie), nie začiatočnú. To vyrieime transformáciou
  
  To znamená, e novou premennou, namiesto času t, bude čas zostávajúci do expirácie.
- Premenná S (cena akcie) je kladná. Premennú, ktorá nadobúda vetky reálne hodnoty dostaneme zlogaritmovaním. Nová premenná teda bude
  
  Hodnoty x blízke nule zodpovedajú cenám akcie, ktoré sú blízke expiračnej cene opcie. Záporné hodnoty x predstavujú ceny akcie, ktoré sú niie ako je expiračná cena. Analogicky, kladné hodnoty x predstavujú ceny akcie, ktoré sú vyie ako je expiračná cena.
Získanú rovnicu u vieme transformova na rovnicu vedenia tepla pomocou transformácie

kde kontanty určíme tak, aby po úprave rovnice zostala RVT. Táto správna vožba kontánt je

Vedie k rovnici
Rovnako treba transformova aj podmienku v čase expirácie:
Vyrieením tejto RVT a spätnou transformáciou dostaneme explicitné Black-Scholesove vzorce, ktoré sme pouívali v predchádzajúcich cvičeniach. Teraz vak chceme rovnicu riei numericky.

Numerické rieenie: úlohu budeme riei pre x z ohraničeného intervalu [-L, L], kde L bude dos vežké číslo.

Vimnime si, e tento interval nemusíme meni pre opciu s inou expiračnou cenou. O vhodné body S sa postará transformácia x = ln(S/E), ktorú sme pouili namiesto jednoduchej logaritmickej transformácie x = ln(S).
Tým, e sme úlohu zúili na ohraničenú oblas, potrebujeme okrajové podmienky v krajných bodoch. Potrebujeme teda diskretizova rovnicu vedenia tepla.
Prvý prístup je numericky jednoduchí. Máme začiatočnú podmienku. Z nej vypočítame hodnoty v nasledujúcej časovej vrstve. Tieto pouijeme na výpočet rieenia v ďalej časovej vrstve, atď. Na konvergenciu metódy je vak potrebné splnenie podmienky na vzah časového a priestorového kroku. Táto podmienka môe prakticky vies k nevyhnutnosti zvoli vežmi malý časový krok - kvôli konvergencii metódy, nie kvôli tomu, e by sme rieenie potrebovali v mnohých tak blízkych časových okamihoch.
Jednoduchý príklad:

Stiahnite si súbory rvt.m, rvt.fig a spustite m súbor. Môete meni hodnoty n, m.

V Matlabovskom skripte budeme počíta cenu európskej call opcie s nasledujúcimi parametrami:
Zvolíme parameter L, určujúci oblas, na ktorej sa bude rieenie počíta.
Vypočítame kontatnty alfa a beta z transformácie premenných:
Ako sme u povedali, potrebujeme okrajové podmienky v krajných bodoch. Krajné body zodpovedajú cenám akcie, ktoré sú vežmi malé, blízke nule (x=-L) a cenám, ktoré sú vežmi vežké a pribliujú sa nekonečnu (x=L). Pre takéto limitné hodnoty pouijeme aproximácie, ktoré majú svoje ekonomické zdôvodnenie (hovorili sme o tom na predchádzajúcich cvičeniach):

Označme phi(tau) okrajovú podmienku v žavom krajnom bode a psi(tau) okrajovú podmienku v pravom krajnom bode. Ďalej označme u0(x) začiatočnú podmienku.
Definujeme tieto funkcie pre call opciu

a vyskúame v príkazovom okne ich funkčnos, aby ich mohli v skripte pouíva
Definujeme parametre delenia.

Vytvoríme maticu, do ktorej budeme vklada rieenie a zapíeme do nej začiatočnú podmienku a okrajové podmienky:
Výpočet ďalej časovej vrstvy - sústavu rovníc rieime Gauss-Seidelovou metódou.
Spätná transformácia a porovnania skutočného a numerického rieenia:
Rovnaký výpočet nasledujúcich časových vrstiev - dáme do cyklu.

Cvičenia z finančných derivátov
Beáta Stehlíková, 2007