Opakovanie - náhodné procesy
- Definujte Wienerov proces. Vo všetkých nasledujúcich úlohách označuje w Wienerov proces.
- Nakreslite do jedného grafu tri realizácie Wienerovho procesu na intervale [0,10]. Použite časový krok 0,01.
[ukážka možného výstupu]
-
Nájdite rozdelenie nasledujúcich náhodných premenných:
- w(t), kde t je ľubovoľné kladné číslo (t.j. rozdelenia hodnoty Wienerovho procesu v čase t)
- w(2)
- w(5)-w(3)
- x(t)=1+2t+3w(t), kde t je ľubovoľné kladné číslo (t.j. rozdelenie hodnoty procesu x(t)=2t+3w(t) v čase t)
- w(1)+w(2) (pozor, w(1) a w(2) nie sú nezávislé)
- Skontrolujte si odpoveď na poslednú otázku pomocou simulácií - vygenerujte 2000 realizícií Wienerovho procesu a zanamenávajte hodnoty v čase 1 a v čase 2. Zobrazte histogram ich súčtu.
[ukážka možného výstupu]
Vypočítajte zo získaných hodnôt priemer a výberovú disperziu.
-
Pre nasledujúce procesy nakreslite do jedného grafu realizáciu a strednú hodnotu procesu na intervale [0,5]. Použite časový krok 0,001.
- x1(t) = 2 + 0.3 w(t)
- x2(t) = 1 - 0.05 w(t)
- x3(t) = exp(t + 0.3 w(t))
- x4(t) = exp(0.05 w(t))
[ukážka možného výstupu]
- Uvažujme proces x(t) = 2 - 5 t + 2 w(t). Zobrazte do jedného grafu:
- päť realizácií
- strednú hodnototu procesu
- strednú hodnotu +/- 1.96*štandardnú odchýlku (t.j. 95 percentný interval spoľahlivosti)
[ukážka možného výstupu]
-
Uvažujme proces x(t) = 2 - 5 t + 5 w(t). Vygenerujte 1000 realizácií tohto procesu na intervale [0,2] s krokom 0.01. Pre každý čas vypočítajte
- skutočnú strednú hodnotu a priemer z realizácií
- skutočnú disperziu a výberovú disperziu z realizácií
Zakreslite ich do jedného grafu a porovnajte. [ukážka možného výstupu]
-
Napíšte nasledovné procesy v tvare stochastickej diferenciálnej rovnice, t.j. dx(t) = ... dt + ... dw(t).
- x1(t)=2+2t+exp(w(t))
- x2(t)=3exp(2 + w(t))
- x3(t)=-2exp(-10 t + 2 w(t))
-
Priraďte nasledovné procesy ich simuláciám na grafe:
- x1(t) = 5 + 2t + 3w(t)
- x2(t) = - 2t + w(t)
- x3(t) = 5 + 2t + w(t)
- x4(t) = 2t + w(t)
