Pod call, resp. put opciou rozumieme európsku call, resp. put opciu.

1. Aký je payoff diagram call a put opcie? Vysvetlite.

2. Vypočítajte pomocou Black-Scholesovho vzorca ceny nasledovných opcii. Úroková miera je 4.5 percenta. Všetky opcie sú na akciu, ktorá nevypláca dividendy a ktorej sigma je 0.32. Súčasná cena akcie je 153 USD.
   • Call opcia s expiráciou o pol roka s expiračnou cenou 170 USD.
   • Call opcia s expiráciou štvrť roka s expiračnou cenou 170 USD.
   • Put opcia s expiráciou štvrť roka s expiračnou cenou 150 USD.

3. Predpokladajme, že akcia z predchádzajúceho príkladu vypláca spojité dividendy s dividendovou mierou D=0.03. Ako sa zmenia ceny jednotlivých opcií z predchádzajúceho príkladu?

4. Uvažujme dve akcie s rovnakou volatilitou, ale rôznymi dividendovými mierami. Na tieto dve opcie sú vypísané call a put opcie s rovnakou expiračnou cenou a rovnakým expiračným časom. Ktorá call opcia je drahšia? Ktorá put opcia je drahšia?

5. Uvažujme akciu, ktorej sigma je 0.3. Úroková miera je 5 percent. Na tútu akciu je vypísaná call opcia s expiračným časom pol roka a expiračnou cenou 200 USD. Nakreslite graf závislosti ceny tejto opcie od aktuálnej ceny akcie, ak
   • akcia nevypláca dividendy
   • akcia vypláca dividendy so spojitou dividendovou mierou D = 0.05
   Nakreslite oba grafy do jedného obrázku.

6. Závislosť ceny call a put opcie na akcie bez dividend od parametrov: cena akcie S, expiračná cena E, čas expirácie tau, úroková miera r, parameter sigma z procesu pre vývoj akcie. Ktoré závislosti sú rastúce a ktoré klesajúce? Vysvetlite na základe znamienka derivácií aj ekonomickej interpretácie.

7. Vysvetlite call-put paritu pre opcie na akcie nevyplácajúce dividendy a pre opcie na akcie vyplácajúce spojité dividendy. Ukážte, ako sa dá cena put opcie vyjadriť pomocou ceny call opcie.

8. Dokážte, že cena call a put opcie je konvexnou funkciou ceny akcie S.

9. Uvažujme cenu call opcie V z Black-Scholesovho modelu na akciu, ktorá nevypláca dividendy.
   • Vypočítajte limitu ceny opcie V, ak cena akcie ide k nule.
   • Nájdite asymptotické správanie ceny opcie V, ak cena akcie ide do nekonečna, t.j. takú funkciu f, že podiel V/f ide k jednej pre S idúce do nekonečna. Uveďte viac možností a graficky porovnajte kvalitu ich aproximácie.
   • Cena call opcie je vždy kladná.
   • Graf riešenia (x-ová os: cena akcie, y-ová os: cena opcie) nepretína payoff diagram.

10. Uvažujme cenu call opcie V z Black-Scholesovho modelu na akciu, ktorá vypláca dividendy so spojitou dividendovou mierou D.
    • Vypočítajte limitu ceny opcie V, ak cena akcie ide k nule.
    • Nájdite asymptotické správanie ceny opcie V, ak cena akcie ide do nekonečna, t.j. takú funkciu f, že podiel V/f ide k jednej pre S idúce do nekonečna. Uveďte viac možností a graficky porovnajte kvalitu ich aproximácie.
    • Cena call opcie je vždy kladná.
    • Graf riešenia (x-ová os: cena akcie, y-ová os: cena opcie) vždy pretína payoff diagram.

11. Uvažujme cenu put opcie V z Black-Scholesovho modelu na akciu, ktorá nevypláca dividendy a na akciu, ktorá vypláca spojité dividendy. Pre každý z týchto dvoch prípadov:
    • Vypočítajte limitu ceny opcie V, ak cena akcie ide k nule.
    • Vypočítajte limitu ceny opcie V, ak cena akcie ide do nekonečna.
    • Cena put opcie je vždy kladná.
    • Graf riešenia (x-ová os: cena akcie, y-ová os: cena opcie) pretína payoff diagram.

12. Derivácie ceny opcie V podľa ceny akcie S sa nazýva Delta. Delta-hedžing je zostrojenie portfólia, kde na jednu opciu pripadá mínus Delta akcií. (Ako v odvodení Black-Scholesovej rovnice.) Predpokladajme, že sme predali jednu call opciu a v portfóliu máme akcie, ktorých počet riadime delta-hedžingom. Výsledkom je bezrizikové portfólio, ktoré eliminuje náhodnosť z vývoja akcie.
    • Budeme akcie v portfóliu vlastniť, alebo budeme v short position? Interpretujte ekonomicky.
    • Nakreslite závislosť Delta od aktuálnej ceny akcie S (ostatné parametre sú fixované). Interpretujte.
    • Zobrazte predchádzajúci graf pre niekoľko rôznych časov expirácie. V čom sa líšia?
    • Nakreslite závislosť Delta od času do expirácie (ostatné parametre sú fixované). Ako sa líši, ak je opcia in-the-money a keď je out-of-money? Vypočítajte limitu, ak čas do expirácie ide k nule a keď ide do nekonečna. Ekonomicky interpretujte získané výsledky.

13. Súčasná cena určitej akcie je S USD, jej vývoj sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrom sigma = 0.4. Úroková miera je 5 percent. Uvažujme nasledovnú stretégiu: Kúpime jednu call opciu a jednu put opciu s tou istou expiračnou cenou (380 USD) a tou istou expiráciou.
    • Nakreslite payoff tejto stratégie v závislosti od S .
    • Vypočítajte cenu tejto stratégie podľa Black-Scholesovho vzorca v závislosti od ceny akcie S, ak expirácia je o rok, o pol roka, o mesiac a o týždeň (štyri grafy v jednom obrázku).
    • K čomu sa približuje graf riešenia, ak čas do expirácie ide k nule? Prečo?

14. Akcie s transakčnými nákladmi:
    • Napíšte Lelandovu rovnicu pre oceňovanie opcií, ak pri obchodovaní s akciami vznikajú transakčné náklady. Prečo táto rovnica nie je lineárna a aké to má dôsledky?
    • Vysvetlite, čo je Lelandovo číslo a ako súvisí s oceňovaním opcií, ak pri obchodovaní s akciami vznikajú transakčné náklady.

15. Predpokladajme, že rozdiel medzi ask a bid cenou akcie predstavuje 0.15 percent z priemeru bidu a asku. Cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrom sigma = 0.35.
    • V akých časových intervaloch môžeme meniť zloženie nášho portfólia pri delta-hedžingu, aby bola splnená podmienka, že Lelandovo číslo je z intervalu (0,1)?
    • Zvoľte si dve dňlžky časového intervalu, ktoré spĺňajú podmienku z predchádzajúcej otázky. Pre obe vVypočítajte cenu call opcie na túto akciu, ak súčasná cena akcie je 350 USD, expiračná cena je 380 USD, expirácia je o štvrť roka a úroková miera je 3.5 percenta.
    • Pre ktorý časový interval zmeny portfólia je cena akcie väčšia? Ako sa to dá odpovedať na túto otázku, bez toho, aby sme hodnoty jednotlivých opcií vypočítali?