Stochastické procesy a modelovanie cien akcií

Vývoj cien akcií

	Na stránke Chicago Board Options Exchange zvoľte v menu Quotes - Delayed Quotes Beta.
	Tu vyberte Advanced Charts. Zadajte kód firmy (napr. IBM, MSFT = Microsoft, GM = General Motors, ...), pre ktorú chcete zobrazoť ceny akcií. Môžete napísať aj názov firmy, dostanete zoznam firiem, z ktorého vyberiete tú, ktorú chcete zobraziť.

Teraz môžete meniť hodnoty Timeframe a Frequency. Kliknutím na Refresh chart dostanete príslušný graf.

Modelovanie výnosov akcií

• Ak ceny akcií označíme S (s príslušným časovým indexom), tak výnosy sú
  
  Na modelovanie výnosov sa používa veličina
  
  posledná aproximácia vyplýva z toho, že
  
  
  

  Cvičenie 2 V súbore google.txt sú denné ceny akcií firmy Google od od 7. februára 2007 do 7. februára 2008. Načítajte ich do Matlabu a zobrazte vývoj cien v čase. Vytvorte vektor s hodnotami výnosov a zobrazte ich vývoj.

• Model pre výnosy akcií:
  • sú nezávislé,
  • majú normálne rozdelenie.
  
  

  Cvičenie 3 Ak sú výnosy nezávislé, hodnota výnosu sa nedá predpovedať zo znalosti výnosu z predchádzajúcom období. Vytvorte graf, ktorý zobrazuje body, ktorých x-ová súradnica je výnos v čase t-k (pre zvolený časový posun k), y-ová súradnica je výnos v čase t. Je medzi nimi nejaká závislosť? Zostrojte autokorelačnú funkciu výnosov. Zobrazte histogram výnosov. Zodpovedá predpokladu o normálnom rozdelení? Testujte normalitu štatistickým testom. Ako sa zhodujú výsledky s teoretickým modelom? V čom sa zhodujú, v čom je rozdiel?

Wienerov proces

• Z priebehu cien akcií je vidieť náhodnosť, ktorá spôsobuje, že vývoj cien sa nedá modelovať deterministickou funkciou. Preto sa používajú stochastické procesy.

• Wienerov proces je základným procesom, z ktorého sú odvodené mnohé ďalšie.

• Definícia: Proces w(t), ktorý má nasledovné vlastnosti, sa nazýva Wienerov proces.
  1. Prírastky w(t+)-w(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a disperziou .
  2. Pre všetky t₁ < t₂ < ... < t_n sú prírastky
     w(t₂) - w(t₁), ..., w(t_n) - w(t_n-1)
     nezávislé náhodné premenné.
  3. Proces začína v nule, t.j. w(0)=0.
  4. Trajektórie procesu sú spojité.
  
  
• Ako získať realizáciu Wienerovho procesu:
  • Budeme generovať aproximáciu - hodnoty v diskrétnych bodoch typu (čas, hodnota), ktoré pospájame.
  • Hodnoty budú v bodoch 0,,2, . . ., kde je dostatočne malý časový krok.
  • Hodnota v čase 0 je 0.
  • Prírastok na intervale [k, (k + 1)] je náhodná premenná s nulovou strednou hodnotou a varianciou .

• V Matlabe:
  • Kód:
    
    a výstup:
    
    
    
  • Funkcie Matlabu na prácu s vektormi sú efektívnešie ako cykly:
    

  Cvičenie 4 Zakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Wienerovho procesu.

  

Násobok Wienerovho procesu

• Uvažujme násobok Wienerovho procesu, teda proces tvaru
  
  
  

  Cvičenie 5 Odvoďte rozdelenie prírastkov tohto procesu. Vygenerujte realizácie procesu pre zvolenú hodnotu parametra (na základe výsledku predchádzajúcej úlohy alebo z definície ako násobok Wienerovho procesu) a zobrazte ich priebeh.

• Závislosť od parametra :
  

  Cvičenie 6 Aké je pravdepodobnostné rozdelenie hodnoty procesu v čase 1? Ako závisí od parametra ? Aké je pravdepodobnostné rozdelenie hodnoty procesu v čase t?

Brownov pohyb

• K násobku Wienerovho procesu pridáme lineárny trend:
  
  Tento proces sa nazýva Brownov pohyb.
• Ak je parameter nulový, grafom je priamka. Pre nenulovú hodnotu sa k tomuto lineárnemu trendu pridávajú náhodné fluktuácie.

  Cvičenie 7 Aké je rozdelenie prírastkov tohto procesu? Vygenerujte realizácie procesu pre zvolené hodnoty parametrov a zobrazte ich priebeh. Ako sa mení typický priebeh procesu, keď meníme hodnoty parametrov?

  
  
  

  Cvičenie 8 Aké je pravdepodobnostné rozdelenie hodnoty Brownovho pohybu v čase t?

Geometrický Brownov pohyb

• Geometrický Brownov pohyb je proces
  
  Hodnota x₀ predstavuje hodnotu procesu v čase 0.

Lognormálne rozdelenie

• Náhodná premenná X má lognormálne rozdelenie, ak náhodná premenná ln(X) má normálne rozdelenie .


• Hustota náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
  


• Stredná hodnota a disperzia náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
  
  
  

  Cvičenie 10 Ukážte, že hodnota geometrického Brownovho pohybu v čase t je náhodná premenná s lognormálnym rozdelením. Aké sú parametre tohto rozdelenia?

Geometrický Brownov pohyb ako model ceny akcie

• Povedali sme, že výnosy cien akcií sa modelujú ako nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením.
• Ak proces pre cenu akcie je
  
  tak
  
  a teda výnosy majú uvedené vlastnosti.
• Ako získať parametre geometrického Brownovho pohybu modelujúceho cenu akcie z dát - odhadom parametrov normálneho rozdelenia z výnosov

  Cvičenie 11 Uvažujme rok ako jednotku času (t.j. t = 1 znamená jeden rok) a =1/250. Z dát firmy Google z tohto cvičenia odhadnite parametre geometrického Brownovho pohybu, ktorým modelujeme vývoj týchto cien.

Cvičenia

Cvičenie 12 Nakreslite do jedného grafu niekoľko simulácii geometrického Brownovho pohybu so získanými parametrami, ktoré začínajú z hodnoty 504.95 (cena akcie 7.2.2008). Nájdite pravdepodobnostné rozdelenie ceny akcie o 1 mesiac, 2 mesiace, pol roka a rok. Nakreslite hustoty týchto rozdelení. Stiahnite novšie dáta a porovnajte skutočný vývoj so simuláciami a s hustotami na základe historických dát z predchádzajúcich úloh.

Cvičenie 13 Predpokladajme, že sa cena akcie riadi geometrickým Brownovym pohybom s uvedenými parametrami. 7.2.2008 bola jej cena 504.95 USD. Aká je pravdepodobnosť, že o rok bude cena tejto akcie nižšia ako je súčasná? Aká je pravdepodobnosť, že o pol roka bude cena vyššia ako 600 USD?

Cvičenie 14 Nájdite strednú hodnotu a pravdepodobnostné rozdelenie ceny akcie na začiatku roka 2010, ak použijete odhady parametrov z dát použité v predchádzajúcich úlohách, odhady parametrov z novších dát (porovnajte odhady získané z rôzneho počtu dát (posledný rok, niekoľko posledných mesiacov). Porovnajte stredné hodnoty, zakreslite do jedného grafu získané hustoty.

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z finančných derivátov, LS 2008/2009