Stochastické procesy a modelovanie cien akcií - pokračovanie

Ďalšie príklady na precvičenie

1. Nájdite pravdepodobnostné rozdelenie nasledovných hodnôt:
   1. w(3)-w(1),
   2. w(2),
   3. 3+w(1),
   4. w(1)+w(3).
   Skontrolujte si odpoveď na poslednú otázku pomocou simulácií: Vygenerujte 2000 realizícií Wienerovho procesu a zanamenávajte hodnoty v čase 1 a v čase 2. Zobrazte histogram ich súčtu a vypočítajte zo získaných hodnôt priemer a výberovú disperziu.

2. Nájdite strednú hodnotu nasleujúcich procesov v čase t:
   1. x₁(t)=2*w(t),
   2. x₂(t)=3t-2*w(t),
   3. x₃(t)=1+3*w(t),
   4. x₄(t)=2*exp(4t+3*w(t)),
   5. x₅(t)=exp(2+4t+3*w(t)).

3. Priraďte nasledovné procesy ich simuláciám na grafe:
   • x₁(t) = 5 + 2t + 3w(t),
   • x₂(t) = - 2t + w(t),
   • x₃(t) = 5 + 2t + w(t),
   • x₄(t) = 2t + w(t).

   

4. Pre nasledujúce procesy nakreslite do jedného grafu realizáciu a strednú hodnotu procesu na intervale [0,5]. Použite časový krok 0,001.
   • x₁(t) = 2 + 0.3 w(t)
   • x₂(t) = exp(t + 0.3 w(t))
   [ukážka možného výstupu]

5. Uvažujme proces x(t) = 2 - 5 t + 2 w(t). Zobrazte do jedného grafu:
   • päť realizácií
   • strednú hodnototu procesu
   • strednú hodnotu +/- 1.96*štandardnú odchýlku (t.j. 95 percentný interval spoľahlivosti)
   [ukážka možného výstupu]

6. Definujme proces x(t)=w(t)+t. Vypočítajte pravdepodobnosť, že jeho hodnota v čase 1 bude záporná.

7. Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami mi = 0.35, sigma = 0.25 Súčasná cena akcie je 253.1 USD. Vypočítajte
   • strednú hodnotu ceny akcie o dva roky
   • pravdepodobnosť, že o rok bude cena akcie menšia, ako je teraz
   • pravdepodobnosť, že o pol roka bude cena akcie menšia ako 230 USD.

8. Stiahnite si ceny akcií zvolenej firmy. Predpokladajme, že cena sa riadi geometrickým Brownovym pohybom. Odhadnite parametre tohto Brownovho pohybu tak, že použijete dáta z rôzne dlhých intervalov:
   • rok,
   • polrok,
   • štvrťrok.
   Na základe každého odhadu (a aktuálnej ceny akcie) vypočítajte strednú hodnotu ceny počas nasledujúceho roka. Zakreslite do jedného grafu všetky tri stredné hodnoty.

Itóova lema

Kijoši Itó (1915 - 2008), zakladateľ teórie stochastických diferenciálnych rovníc. Životopis na stránke Inamori Foundation Životopis na "The MacTutor History of Mathematics archive" "Dr. Kiyoshi Ito receives the Gauss Prize"

• Itóova lema:
  Nech x je proces daný rovnicou
  
  a f(t,x) je hladká funkcia. Potom f vyhovuje rovnici
  

• Použitie Itóovej lemy pri oceňovaní opcií: Vývoj ceny akcie je daný stochastickou diferenciálnou rovnicou pre S. Cena derivátu V závisí od času t a od ceny akcie S. Itóova lema dáva predpis pre stochastickú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa cena derivátu V(t,S). Táto rovnica sa využije pri odvodzovaní ceny derivátu.

• Cvičenia:
  1. Napíšte nasledovné procesy v tvare stochastickej diferenciálnej rovnice, t.j. dx(t) = ... dt + ... dw(t).
     • x₁(t)=2+2t+exp(w(t)),
     • x₂(t)=3exp(2 + w(t)),
     • x₃(t)=-2exp(-10 t + 2 w(t)).

  2. Predpokladajme, že cena akcie je riešením stochastickej diferenciálnej rovnice dS(t) = 0.3 S dt + 0.1 S dw(t). Súčasná cena akcie je 210 USD. Nakreslite graf hustoty ceny akcie o pol roka a nájdite strednú hodnotu.

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z finančných derivátov, LS 2008/2009