Cvičenie 4: Black-Scholesov model. Transakčné náklady.

Black-Scholesov model

Riešením Black-Scholesovej PDR dostneme cenu call opcie:
Cena put opcie - anologicky - riešením PDR, alebo z call put parity.

Cvičenie 1

Nech cena akcie je 100 USD, úroková miera 1.5 percenta, volatilita akcie 0.35. Vypočítajte cenu call opcie s expiračnou cenou 120 USD a expiráciou o pol roka.

Nech cena akcie je 50 USD, úroková miera 1 percento, volatilita akcie 0.4. Vypočítajte cenu put opcie s expiračnou cenou 45 USD a expiráciou o rok.

Nech úroková miera je 2 percentá a volatilita akcie 0.25. Zvoľte si kombinovanú stratégiu býčieho typu. Zakreslite payoff tejto stratégie. Do toho istého obrázku zakreslite cenu stratégie podľa Black-Scholesovho vzorca (ako funkciu S) pre niekoľko časov do expirácie.

Zvoľte si akciu a opciu, nájdite aktuálnu úrokovú mieru (napr. na http://finance.yahoo.com).

Nakreslite závislosť ceny opcie od volatility.
Aké hodnoty môže cena opcie nadobúdať? (Odpoveď závisí od vzťahu ceny akcie a expiračnej ceny opcie.)
Určte implikovanú volatilitu, t.j. takú hodnotu volatility, pre ktorú sa teoretická Black-Scholesova cena rovná skutočnej cene opcie.

Transakčné náklady - Lelandov model

Hayne E. Leland: Option Pricing and Replication with Transactions Costs, 1985
S_bid, S_ask - definujeme
- S=(S_bid + S_ask)/2
- c=(S_ask - S_bid)/S
Transakčné náklady na jednu transakciu: (c/2)S
Ako reálne vyzerá c? Zrátajme si na ukážku, čomu sa rovná pre tieto akcie:

PDR pre ceny derivátov:

Replikačné portfólio v Black-Scholesovom modeli: 1 opcia, , akcií spojité obchodovanie.
V prípade transakčných nákladov: 1 opcia, akcií, portfólio meníme v intervaloch dĺžky , počet transakcií je
Zmena hodnoty portfólia:
Odvodíme rovnicu:

Pre call a put opciu:
- V Black-Scholesovom modeli je cena call aj put opcie konvexnou funkciou ceny akcie.
- Definjme Definujeme Lelandovo číslo
- Pre Lelandovo číslo z intervalu (0,1) dostávame cenu call, resp. put opcie z Lelandovho modelu pomocou Black-Scholesovho vzorca s upravenou volatilitou:

Cvičenie 2
Nakreslite graf závislosti ceny call opcie od aktuálnej ceny akcie pre rôzne dĺžky intervalu zaisťovania portfólia (a zvolené ostatné parametre).

Modelovanie bid-ask spreadov pomocou Lelandovho modelu

Cenu z predchádzajúceho odvodenia môžeme považovať za ponuku na kúpu opcie.
Ak chceme odvodiť ponuku na predaj, uvaujeme portfólio, v ktorom dlhujeme jednu opciu. Toto portfólio hedžujeme. Rovnakým postupom dostaneme:

Cenu call, resp. put opcie znovu dostaneme pomocou Black-Scholesovho vzorca, pričom upravená volatilita je:
To znamená, že upravené volatility sú:

a rozdiel medzi ask a bid cenou je

Cvičenie 3
Nakreslite graf rozdielu ask a bid ceny call a put opcie od aktuálnej ceny akcie pre rôzne dĺžky intervalu zaisťovania portfólia (a zvolené ostatné parametre).

Tieto výsledky nám umožňujú odhadnúť parametre modelu z dát:
1. Vypočítame implikované bid a ask volatility a z bid a ask ceny opcie:
2. Riešením sústavy rovníc vypočítame parametre (implikovaná volatilita), Le:
3. Z bid a ask ceny akcie vypočítame konštantu c z Lelandovho modelu.
4. Nakoniec vypočítame implikovaný čas medzi dvoma prerovnaniami porfólia pri hedžingu opcie:

Cvičenie 4
Použite tento postup na odhad parametrov pre niektoré z nasledovných opcií. Ceny opcií sú z 2. marca 2009, z toho istého času ako bid a ask ceny akcií na začiatku. Vyberte si napríklad:

jednu akciu a opcie s rovnakým expiračným časom a rôznou expiračnou cenou
jednu akciu a opcie s rovnakou expiračnou cenou a rôznym expiračným časom
opcie rôznych firiem s rovnakým expiračným časom a expiračnou cenou blízkou aktuálnej cene akcie

EBAY:
JAVA:
MSFT:

Cvičenia z finančných derivátov
Beáta Stehlíková, 2009