Cvičenie 2
- Otvorte si pdf súbor s článokom Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199 ? 212.
- Parametrizácia modelu - rovnica (1) v článku:
Vašíčkov model (t.j. model s lineárnym driftom a konštantnou volatilitou) dostaneme, ak sa gama rovná jednej.
- V tabuľke 3 sú odhadnuté parametre modelov tohto tvaru pre niekoľko štátov. Vyberte si štát a nájdite odhady parametrov Vašíčkovho modelu. Tieto hodnoty použite na riešenie nasledujúcich úloh.
Transformujte tieto hodnoty na parametre kapa, theta (parameter sigma je v oboch prípadoch rovnaký).
- Zvoľte si začiatočnú hodnotu úrokovej miery a vygenerujte realizáciu jej ďalšieho vývoja (napr. počas nasledujúceho roka) s časovým krokom jeden deň. Zopakujte pre niekoľko ďalších začiatočných hodnôt. Ako sa mení priebeh procesu?
- Zvoľte si začiatočnú hodnotu úrokovej miery a nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií ďalšieho vývoja spolu s jeho strednou hodnotou.
- Meňte parametre procesu. Ako sa mení typický priebeh procesu pri zmene jednotlivých parametrov (kapa, theta, sigma)?
- Uvažujme rozdelenie úrokovej miery pri jej danej hodnote v čase 0. Ako toto rozdelenie závisí od parametrov kapa a sigma?
- Vráťte sa k pôvodným parametrom. Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je 4.5 percenta. Aká je stredná hodnota úrokovej miery o týždeň, o mesiac a o rok? Zostrojte pre tieto úrokové miery intervalové odhady (stredná hodnota +/- 2*štandardná odchýlka).
- Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery. Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o mesiac, o rok, ... - tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote.
- Jednou z nevýhod Vašíčkovho modelu je možnosť záporných úrokových mier. Vypočítajte pravdepodobnosť zápornej úrokovej miery v nasledovných prípadoch:
- limitné rozdelenie úrokovej miery
- úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
- úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.
- úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
- úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.
-
Nájdite príklad takých parametrov, aby predchádzajúce pravdepodobnosti záporných úrokových mier boli väčšie (pri takýchto pravdepodobnostiach zrejme nie je model vhodný).
|