Cvičenie 7: Modelovanie úrokových mier
Vašíčkov model pre vývoj okamžitej úrokovej miery

Jednofaktorový short rate model

• Short rate - okamžitá úroková miera, aproximuje sa úrokovou mierou s krátkoui splatnosťou
• Okamžitá úroková miera sa modeluje stochastickou diferenciálnou rovnicou.
  
  teda trend vo vývoji úrokovej miery + náhodné fluktuácie okolo trendu
• jednofaktorový model - jedna stochastická diferenciálna rovnica pre r, t. j. jeden zdroj náhodnosti vo vývoji okamžitej úrokovej miery (jeden Wienerov proces).

Vašíčkov model

• Stochastická diferenciálna rovnica pre okamžitú úrokovú mieru:
  
• Vlastnosť mean-reversion (priťahovanie k dlhodobej hodnote, k limitnej hodnote) -> nasledujúce cvičenie.
  
  

  Cvičenie 1 Ako by vyzeral vývoj pri nulovej volatilite? Nájdite riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice Nakreslite graf pre rôzne začiatočné hodnoty úrokovej miery. Aký vplyv na priebeh majú parametre (kapa, theta)?

  
  
  
• Nenulová volatilita -> úroková miera je náhodná. Analogickú rovnicu ako v predchádzajúcom cvičení dostávame pre strednú hodnotu
  

Pravdepodobnostné rozdelenie úrokovej miery

• Podmienené rozdelenie úrokovej miery, ak poznáme jej hodnotu r₀ v čase 0 je normálne rozdelenie s parametrami
  
  Znalosť tohot rozdelenia nám umožňuje:
  • Vygenerovať realizáciu procesu pre zadané parametre a začiatočnú hodnotu úrokovej miery.
  • Odhadovať parametre procesu z dát.
  
  
• Upozornenie: V literatúre sa požívajú rôzne označenia pre lineárnu funkciu driftu, treba si vždy pozrieť, s akým driftom sa pracuje.
  
  

  Cvičenie 2 Otvorte si pdf súbor s článokom Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199 ? 212. Parametrizácia modelu - rovnica (1) v článku: Vašíčkov model (t.j. model s lineárnym driftom a konštantnou volatilitou) dostaneme, ak sa gama rovná jednej. V tabuľke 3 sú odhadnuté parametre modelov tohto tvaru pre niekoľko štátov. Vyberte si štát a nájdite odhady parametrov Vašíčkovho modelu. Tieto hodnoty použite na riešenie nasledujúcich úloh. Transformujte tieto hodnoty na parametre kapa, theta (parameter sigma je v oboch prípadoch rovnaký). Zvoľte si začiatočnú hodnotu úrokovej miery a vygenerujte realizáciu jej ďalšieho vývoja (napr. počas nasledujúceho roka) s časovým krokom jeden deň. Zopakujte pre niekoľko ďalších začiatočných hodnôt. Ako sa mení priebeh procesu? Zvoľte si začiatočnú hodnotu úrokovej miery a nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií ďalšieho vývoja spolu s jeho strednou hodnotou. Meňte parametre procesu. Ako sa mení typický priebeh procesu pri zmene jednotlivých parametrov (kapa, theta, sigma)? Uvažujme rozdelenie úrokovej miery pri jej danej hodnote v čase 0. Ako toto rozdelenie závisí od parametrov kapa a sigma? Vráťte sa k pôvodným parametrom. Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je 4.5 percenta. Aká je stredná hodnota úrokovej miery o týždeň, o mesiac a o rok? Zostrojte pre tieto úrokové miery intervalové odhady (stredná hodnota +/- 2*štandardná odchýlka). Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery. Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o mesiac, o rok, ... - tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote. Jednou z nevýhod Vašíčkovho modelu je možnosť záporných úrokových mier. Vypočítajte pravdepodobnosť zápornej úrokovej miery v nasledovných prípadoch: limitné rozdelenie úrokovej miery úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je 5 percent. úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je pol percenta. úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je 5 percent. úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je pol percenta. Nájdite príklad takých parametrov, aby predchádzajúce pravdepodobnosti záporných úrokových mier boli väčšie (pri takýchto pravdepodobnostiach zrejme nie je model vhodný).

  
  
  

Metóda maximálnej vierohodnosti na odhad parametrov

• Podmienené rozdelenie úrokových mier je normálne -> funkcia vierohodnostije súčin hustôt normálnych rozdelení.
• Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models - Theory and Practice. Second Edition. Springer, 2007.
  Kapitola 3.1.2, str. 61-62.
  

  
  
  

  Cvičenie 3 Stiahnite si dáta úrokovej miery (napr. 3M treasury bills, Euribor s krátkou dobou splatnosti a pod.) zo zvoleného časového intervalu. Zobrazte ich vývoj. Zdroje dát: Federal Reserve Statistical Release Euribor.org Odhadnite parametre a transformujte ich na parametre kapa, theta, sigma. Pre zvolenú začiatočnú hodnotu úrokovej miery nakreslite do jedného grafu strednú hodnotu jej ďalšieho vývoja a niekoľko simulácií. Nájdite limitné rozdelenie úrokovej miery.