Cvičenie 9: Modelovanie úrokových mier - Cox-Ingersoll-Rossov (CIR) model

Odstraňuje nevýhody Vašíčkovho modelu - konštantnosť volatility a možnosť záporných úrokových mier
Zachováva jednoduchosť PDR pre ceny dlhopisov - dá sa explicitne vyriešiť

Okamžitá úroková miera

Stochastická diferenciálna rovnica pre okamžitú úrokovú mieru:
Pri nulovej úrokovej miere je volatilita nulová a drift kladný - úroková miera sa okamžite dostane späť do kladných hodnôt.
Ak je splnená podmienka

tak s pravdepodobnosťou 1 bude proces stále kladný (t.j. dosiahnutie nulovej hodnoty úrokovej miery má nulovú pravdepodobnosť).

Pravdepodobnostné rozdelenie úrokovej miery

Rozdelenie úrokovej miery, ak je daná jej súčasná hodnota:

- násobok necentrálneho chí kvadrát rozdelenia s d stupňami voľnosti a parametrom necentrality lambda.
Necentrálne chí kvadrát rozdelenie v Matlabe:
- hustota: ncx2pdf(x,d,lambda)
- distribučná funkcia: ncx2cdf(x,d,lambda)
- náhodné čísla: ncx2rnd(d,lambda)

Cvičenie 1
Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií CIR modelu pre zvolené parametre.

Cvičenie 2
Uvažujme odhady parametrov Vašíčkovho a CIR modelu z tých istých dát a zvolenú hodnotu okamžitej úrokovej miery. Nakreslite do jedného grafu hustotu rozdelenia úrokovej miery podľa oboch modelov - jednotlivé subploty pre úrokovú mieru o týždeň, o mesiac, o rok.

Cvičenie 3
Uvažujme odhady parametrov Vašíčkovho a CIR modelu z tých istých dát a zvolenú hodnotu okamžitej úrokovej miery. Pre oba modely vypočítajte pravepodobnosť, že o týždeň bude okamžitá úroková miera

väčšia od dnešnej o viac ako jeden percentuálny bod,
menšia ako limitná úroková miera.
Zopakujte pre úrokovú mieru o mesiac a o rok.

Cvičenie 4
Aproximujte stochastickú diferenciálnu rovnicu pre okamžitú úrokovú mieru tak, že namiesto diferenciálov použijete diferencie. Aké je rozdelenie úrokovej miery pri takejto diskretizácii? Porovnajte s presnou hustotou.

Ceny dlhopisov

Ceny dlhopisov majú rovnaký tvar ako ceny vo Vašíčkovom modeli:

Líšia sa funkciami A, B. V prípade CIR modelu sa rovnajú:

kde

Cvičenie 5
Čomu sa rovná limita výnosových kriviek, ak tau ide do nekonečna?

Cvičenie 6
Uvažujme odhady parametrov CIR modelu.

Pre niekoľko trhových cien rizika nakreslite výnosové krivky.
Pre zvolenú trhovú cenu rizika nakreslite výnosové krivky pre rôzne hodnoty okamžitej úrokovej miery. Do grafu dokreslite aj limitu výnosových kriviek.

Cvičenia z finančných derivátov
Beáta Stehlíková, 2009