:: Stochastický vývoj finančných veličín ::

Z priebehov cien akcií (ako aj iných finančných veličín - úrokových mier, výmenných kurzov, ...) vidíme, že ich priebeh sa nedá popísať deterministickou funkciou. Preto sa na ich modelovanie používajú náhodné procesy.

Vľavo: trend (vývoj ceny počas posledného roka), vpravo: fluktuácie (vývoj ceny počas jedného dňa):

Zdroj: http://finance.google.com

:: Wienerov proces a Brownov pohyb ::

• Základným náhodným procesom, z ktorého sú ostatné odvodené, je Wienerov proces. Pripomeňme si jeho definíciu:
  
  Systém X(t) náhodných premenných sa nazýva Wienerov proces, ak
  • prírastky X(t+) -  X(t) majú normálne rozdelenie s nulovou strednou hodnotou a s disperziou ,
  • pre každé delenie 0 = t₀ < t₁ < ... <  t_n sú prírastky X_ti+1 - X_ti nezávislé náhodné premenné s parametrami podľa predchádzajúceho bodu,
  • X(0)=0,
  • trajektórie sú spojité.
  
  
• Ako získame realizáciu Wienerovho procesu?
  • Budeme generovať aproximáciu - hodnoty v diskrétnych bodoch typu (čas, hodnota), ktoré pospájame.
  • Hodnoty budú v bodoch 0,,2, . . ., kde je dostatočne malý časový krok.
  • Hodnota v čase 0 je 0.
  • Prírastok na intervale [k, (k + 1)] je náhodná premenná s nulovou strednou hodnotou a varianciou .
  
  V Matlabe:
  

  %-------------------------------
  % SIMULACIA WIENEROVHO PROCESU
  %-------------------------------
  
  T=1; % do casu T
  dt=0.001; % casovy krok dt
  
  t=(0:dt:T) % vektor casov, v ktorych generujeme hodnoty procesu
  n=length(t);
  
  w(1)=0; % Wienerov proces zacina z nuly
  
  for i=1:n-1 % prvu hodnotu mame, potrebujeme zvysnych n-1
  dw=sqrt(dt)*randn; % prirastok dw; randn ~ N(0,1) => dw ~ N(0,dt)
  w(i+1)=w(i)+dw; % nova hodnota = povodna + prirastok 
  end;
  
  plot(t,w); % vykreslime priebeh
  

  
  Poznamenajme, že na zrýchlenie výpočtov v Matlabe sa dajú využiť funkcie pre prácu s vektormi (namiesto cyklov):
  

  %----------------------------------------
  % RYCHLEJSIA SIMULACIA WIENEROVHO PROCESU
  %----------------------------------------
  
  T=1; % do casu T
  dt=0.001; % casovy krok dt
  
  t=(0:dt:T) % vektor casov, v ktorych generujeme hodnoty procesu
  n=length(t);
  
  dw=sqrt(dt)*randn(n-1,1); % vektor prirastkov - nezavisle N(0,dt) 
  w=[0;cumsum(dw)]; % zaciname z nuly, dalek kumulativne sucty prirastkov 
  
  plot(t,w); % vykreslime priebeh
  

  
  Ukážka výstupu:
  
  
• Ak k násobku Wienerovho procesu pridáme lineárny trend:
  
  dostávame proces, ktorý sa nazýva Brownov pohyb. Ak je parameter nulový, grafom je priamka. Pre nenulovú hodnotu sa k tomuto lineárnemu trendu pridávajú náhodné fluktuácie.

:: Cvičenia (1) ::

1. Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Wienerovho procesu.
   Ukážka výstupu:
   
   
2. Nech W je Wienerov proces. Nájdite pravdepodobnostné rozdelenie W(t).
   Návod: Wienerov proces začína v nule, takže W(t) = W(t) - W(0).
   
   
3. Nájdite pravdepodobnostné rozdelenie Brownovho procesu v čase t.
   
   
4. Nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií Brownovho pohybu.
   Ukážka výstupu:
   Ako závisí typický priebeh procesu od parametrov?
   
   
5. Nech W je Wienerov proces. Nájdite pravdepodobnostné rozdelenie náhodnej premennej W(2) + W(3).
   Návod: Napíšte túto náhodnú premennú ako lineárnu kombináciu nezávislých prírastkov. K dispozícii máme časy 2, 3 a 0 (vtedy je hodnota procesu nulová), takže pôjde zrejme o prírastky W(3) - W(2) a W(2) - W(0).
   
   
6. Nech W je Wienerov proces a nech s < t. Vypočítajte kovarianciu W(s) a W(t).
   Návod: Použite podobný postup ako v predchádzajúcom príklade.
   
   
7. Nech W je Wienerov proces. Nájdite pravdepodobnostné rozdelenie náhodného vektora (W(1), W(3)).

:: Geometrický Brownov pohyb ::

• Nech w je Wienerov proces. Potom geometrický Brownov pohyb je proces definovaný vzťahom
  
  Hodnota x₀ predstavuje hodnotu procesu v čase 0.
  
  
• Ukážka trajektórií geometrického Brownovho pohybu:
  
  
  
• Pripomeňme si definíciu a základné vlastnosti lognormálneho rozdelenia:
  • Náhodná premenná X má lognormálne rozdelenie, ak náhodná premenná ln(X) má normálne rozdelenie .
  • Hustota náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
    
  
  
  • Stredná hodnota a disperzia náhodnej premennej X s lognormálnym rozdelením je
    

:: Cvičenia (2) ::

1. Ukážte, že hodnota geometrického Brownovho pohybu v čase t je náhodná premenná s lognormálnym rozdelením. Aké sú parametre tohto rozdelenia? Aká je stredná hodnota geometrického Brownovho pohybu v čase t ?
   
   
2. Uvažujme geometrický Brownov pohyb z predchádzajúceho obrázku, t. j. x(t)=2*exp(3.5t+0.5w(t)), kde w je Wienerov proces. Zostrojte podobný obrázok s grafmi niekoľkých realizácií procesu a pridajte doňho aj strednú hodnotu.

:: Modelovanie cien akcií pomocou geometrického Brownovho pohybu ::

• Cenu akcie S modelujeme geometrickým Brownovym pohybom:
  
  
  
• Na výpočet výnosov sa používa veličina
  
  pričom posledná aproximácia vyplýva z toho, že
  
  
  
• Ak sa cena akcie S riadi geometrickým Brownovym pohybom, tak pre výnosy dostávame
  
  teda výnosy sú nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením a uvedenými parametrami.
  
  
• Ako získať parametre geometrického Brownovho pohybu z dát - odhadom parametrov normálneho rozdelenia z výnosov.

:: Cvičenia (3) ::

1. Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami . Vypočítajte strednú hodnotu ceny akcie o pol roka, ak jej dnešná cena je 125 USD.
   
   
2. Stiahnite si dáta o vývoji ceny vybranej akcie (http://finance.google.com, http://finance.yahoo.com) so zvolenou frekvenciou a časovým intervalom. Modelujte tento vývoj geometrickým Brownovym pohybom.
   • Odhadnite jeho parametre.
   • Aká je stredná hodnota ročného výnosu?
   • Aká je pravdepodobnosť, že ročný výnos bude kladný?
   • Aká je pravdepodobnosť, že o pol roka bude cena akcie menšia ako 80 percent dnešnej ceny?

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

Vo všetkých úlohách označuje w(t) Wienerov proces.

1. Priraďte nasledovné procesy ich simuláciám na grafe:
   • x₁(t) = 5 + 2t + 3w(t),
   • x₂(t) = - 2t + w(t),
   • x₃(t) = 5 + 2t + w(t),
   • x₄(t) = 2t + w(t).
   
   
2. Nájdite pravdepodobnostné rozdelenie nasledovných hodnôt:
   • w(4)-w(2),
   • w(2),
   • 3+w(3),
   • w(2)-2w(1).
   
   
3. Definujme náhodný proces . Vypočítajte jeho strednú hodnotu a disperziu v čase t.
   
   
4. Pomocou Wienerovho procesu W definujme nový náhodný proces vzťahom
   
   Dokážte, že je to tiež Wienerov proces.
   Návod: Treba overiť vlastnosti Wienerovho procesu z definície.
   
   
5. Pre t z intervalu [0,1] definujme proces .
   • Vygenerujte niekoľko jeho trajektórií a zakreslite ich do grafu.
   • Vypočítajte jeho strednú hodnotu v čase t
   • Vypočítajte kovarianciu medzi jeho hodnotami v časoch t a s.
   
   
6. Uvažujme proces x(t) = 2 - 5 t + 2 w(t). Zobrazte do jedného grafu:
   • päť realizácií
   • strednú hodnototu procesu
   • strednú hodnotu +/- 1.96*štandardnú odchýlku (t.j. 95 percentný interval spoľahlivosti)
   
   Ukážka možného výstupu:
   
   
7. Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovym pohybom s parametrami . Dnešná cena akcie je 250 USD.
   • Nakreslite graf hustoty ceny akcie o rok. Vypočítajte jej strednú hodnotu.
   • Aká je stredná hodnota mesačného výnosu?
   • Aká je pravdepodobnosť, že mesačný výnos bude kladný?
   • Aká je pravdepodobnosť, že o dva mesiace bude cena akcie z intervalu [270, 280]?
   
   
8. Čo si myslíte, čo je na obrázku na obale tejto knihy?
   

---

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z finančných derivátov, FMFI UK Bratislava, LS 2009/2010