:: Jednofaktorový short rate model ::

• Short rate - okamžitá úroková miera, aproximuje sa úrokovou mierou s krátkoui splatnosťou
• Okamžitá úroková miera sa modeluje stochastickou diferenciálnou rovnicou:
  
  teda trend vo vývoji úrokovej miery + náhodné fluktuácie okolo trendu
• Jednofaktorový model - jedna stochastická diferenciálna rovnica pre r, t. j. jeden zdroj náhodnosti vo vývoji okamžitej úrokovej miery (jeden Wienerov proces).

:: Vašíčkov model ::

• Stochastická diferenciálna rovnica pre okamžitú úrokovú mieru:
  
• Vlastnosť mean-reversion (priťahovanie k dlhodobej hodnote, k limitnej hodnote) - pre strednú hodnotu platí:
  
• Volatilita je konštantná, nezávisí teda od aktuálnej hodnoty úrokovej miery

:: Pravdepodobnostné rozdelenie úrokových mier ::

• Podmienené rozdelenie úrokovej miery, ak poznáme jej hodnotu r₀ v čase 0 je normálne rozdelenie s parametrami
  
  
• Znalosť tohoto rozdelenia nám umožňuje:
  • Vygenerovať realizáciu procesu pre zadané parametre a začiatočnú hodnotu úrokovej miery.
  • Odhadovať parametre procesu z dát.
  
  
• Upozornenie: V literatúre sa požívajú rôzne označenia pre lineárnu funkciu driftu, treba si vždy pozrieť, s akým driftom sa pracuje.

::Cvičenia (1) ::

Otvorte si pdf súbor s článokom Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199 ? 212.

Parametrizácia modelu - rovnica (1) v článku: Vašíčkov model (t.j. model s lineárnym driftom a konštantnou volatilitou) dostaneme, ak sa gama rovná jednej.

V tabuľke 3 sú odhadnuté parametre modelov tohto tvaru pre niekoľko štátov. Vyberte si štát a nájdite odhady parametrov Vašíčkovho modelu. Tieto hodnoty použite na riešenie nasledujúcich úloh.

1. Transformujte tieto hodnoty na parametre kapa, theta (parameter sigma je v oboch prípadoch rovnaký).
   
   
2. Zvoľte si začiatočnú hodnotu úrokovej miery a nakreslite do jedného grafu niekoľko realizácií ďalšieho vývoja (napr. počas nasledujúceho roka) s časovým krokom jeden deň, spolu s jeho strednou hodnotou.
   
   
3. Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je 4.5 percenta. Aká je stredná hodnota úrokovej miery o týždeň, o mesiac a o rok? Zostrojte pre tieto úrokové miery intervalové odhady (stredná hodnota +/- 2*štandardná odchýlka).
   
   
4. Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery. Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o mesiac, o rok, ... - tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote.
   
   
5. Jednou z nevýhod Vašíčkovho modelu je možnosť záporných úrokových mier. Vypočítajte pravdepodobnosť zápornej úrokovej miery v nasledovných prípadoch:
   • limitné rozdelenie úrokovej miery
   • úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
   • úroková miera o mesiac, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.
   • úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je 5 percent.
   • úroková miera o týždeň, ak jej dnešná hodnota je pol percenta.

6. Nájdite príklad takých parametrov, aby predchádzajúce pravdepodobnosti záporných úrokových mier boli väčšie (pri takýchto pravdepodobnostiach zrejme nie je model vhodný).

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Odhadovanie parametrov Vašíčkovho modelu. Na písomke nebude, ale ak chcete počítať pravdepodobnosti s aktuálnymi hodnotami parametrov, môžete ich získať napríklad týmto spôsobom.

   Podmienené rozdelenie úrokových mier je normálne, preto funkcia vierohodnostije súčin hustôt normálnych rozdelení.

   
   Zdroj: Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models - Theory and Practice. Second Edition. Springer, 2007. Kapitola 3.1.2, str. 61-62.
   • Stiahnite si dáta úrokovej miery (napr. 3M treasury bills, Euribor s krátkou dobou splatnosti a pod.) zo zvoleného časového intervalu. Zobrazte ich vývoj.
     Zdroje dát:
     • Federal Reserve Statistical Release
     • Euribor.org
   • Odhadnite parametre a transformujte ich na parametre kapa, theta, sigma.
   • Pre zvolenú začiatočnú hodnotu úrokovej miery nakreslite do jedného grafu strednú hodnotu jej ďalšieho vývoja a niekoľko simulácií.
   • Nájdite limitné rozdelenie úrokovej miery.
   
   
2. Stiahnite si dáta - trojmesačné výnosy treasury bills od začiatku roka 2008, týždenné dáta.
   Link: http://www.federalreserve.gov/releases/h15/data.htm.
   Dáta sú úrokové miery v percentách, preveďte ich na desatinné číslo.
   • Z dát z roku 2008 odhadnite parametre Vašíčkovho modelu.
   • Vypočítajte strednú hodnotu a 95 percentný interval spoľahlivosti na základe posledného pozorovania v roku 2008 pre vývoj úrokovej miery v roku 2009.
   • Nakreslite do jedného grafu - vývoj v roku 2008, strednú hodnotu a interval spoľahlivosti z predchádzajúcej úlohy, tri realizácie vývoja v roku 2009.
   • Nakreslite do jedného grafu - vývoj v roku 2008, strednú hodnotu a interval spoľahlivosti z predchádzajúcej úlohy, a skutočný vývoj v roku 2009.
   • Nájdite limitné rozdelenie úrokovej miery. Aká je pravdepodobnosť zápornej úrokovej miery pri tomto rozdelení?

---

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z finančných derivátov, FMFI UK Bratislava, LS 2009/2010