:: Opakovanie ::

Prvú polhodinu budeme venovať príkladom na precvičenie z prvých dvoch cvičení. Ak máte otázky ku konkrétnym príkladom, budeme riešiť tie. Inak vyberiem niekoľko príkladov, ktoré preriešime.

:: Európska call a put opcia ::

• Európska call opcia je kontrakt, v ktorom majiteľ, opcie získava právo (ale nie povinnosť) kúpiť akciu v presne určenom expiračnom čase za vopred dohodnutú expiračnú cenu E.
• Európska put opcia je kontrakt, v ktorom majiteľ, opcie získava právo (ale nie povinnosť) predať akciu v presne určenom expiračnom čase za vopred dohodnutú expiračnú cenu E.
  
  
• Payoff = hodnota v čase expirácie
• Payoff call opcie:
  • Ak aktuálna cena S akcie v čase expirácie prekročí hodnotu E, na ktorú bol uzavretý opčný kontrakt typu call, tak cena opčnej prémie (keby sa za ňu platilo v tomto čase) je zrejme rozdiel medzi aktuálnou cenou S a dohodnutou cenou E, t.j. S-E.
  • Na druhej strane, pokiaľ, aktuálna cena akcie neprekročí dohodnutú cenu E, tak opcia nemá žiadnu hodnotu, pretože ju vôbec neuplatníme.
  • To znamená, že ocenenie call opcie v čase expirácie je jednoduché: max(S-E,0)
• Analogicky dostaneme payoff put opcie: max(E-S,0)
  
  
• Definujeme v Matlabe funkcie, ktoré vrátia payoff call opcie

  function [cp]=CallPayoff(S,E)
  cp=max(S-E,0)
  

  a put opcie

  function [pp]=PutPayoff(S,E)
  pp=max(E-S,0)
  

  Teraz môžeme kresliť payoff diagram a profit diagram (payoff znížený o cenu stratégie).

  % profit diagram call opcie s E=50 USD, ak jej cena je 5 USD
  S=0:10:100;
  plot(s,CallPayoff(s,50)-5);
  

:: Cvičenia (1) ::

1. Predpokladajme, že vlastníme jednu put opciu s expiračnou cenou 60 USD, ktorá stojí 7 USD.
   • Nakreslite payoff a profit diagram.
   • Pre aké ceny akcie v čase expirácie dosiahneme zisk?
   • Aký maximálny zisk môžeme dosiahnuť? Akú maximálnu stratu?

:: Kombinované stratégie ::

Link: http://www.theoptionsguide.com/

• Neutral (non-directional) strategies - používajú sa v prípade, že investor nevie, ktorým smerom sa cena akcie pohne. Líšia sa tým, či predpokladáme malú alebo veľkú zmenu ceny akcie (bez špecifikácie smeru tejto zmeny).
  • Ak očakávame malú zmenu ceny, možné stratégie sú napríklad:
    • Short straddle: http://www.theoptionsguide.com/short-straddle.aspx
    • Short strangle: http://www.theoptionsguide.com/short-strangle.aspx
    • Long call condor: http://www.theoptionsguide.com/condor.aspx
    • Long call butterfly: http://www.theoptionsguide.com/butterfly-spread.aspx
  • Ak očakávame veľkú zmenu ceny, možné stratégie sú napríklad:
    • Long straddle: http://www.theoptionsguide.com/long-straddle.aspx
    • Long strangle: http://www.theoptionsguide.com/long-strangle.aspx
    • Short call condor: http://www.theoptionsguide.com/short-condor.aspx
    • Short call butterfly: http://www.theoptionsguide.com/short-butterfly.aspx
• Bearish strategies (medvedie stratégie) - založené sú na predpoklade investora, že cena akcie klesne. Príkladmi takýchto stratégií sú:
  • Bear call spread: http://www.theoptionsguide.com/bear-call-spread.aspx
  • Bear put spread: http://www.theoptionsguide.com/bear-put-spread.aspx
• Bullish strategies (býčie stratégie) - založené sú na predpoklade investora, že cena akcie vzrastie. Príkladmi takýchto stratégií sú:
  • Bull call spread: http://www.theoptionsguide.com/bull-call-spread.aspx
  • Bull put spread: http://www.theoptionsguide.com/bull-put-spread.aspx

:: Reálne ceny opcií ::

• http://finance.yahoo.com
• Zadáme kód alebo ho vyhlľadáme podľa názvu:

• Pre zvolemú firmu klikneme na Options (v ľavom stĺpci):

• Ukážka:

• Opciu môžeme kúpiť za ask, predať za bid.

:: Cvičenia (2) ::

1. Zvoľte si kombinovanú stratégiu a pomocou reálnych cien zostrojte jej payoff diagram. Aké presvedčenie o budúcom vývoji akcie vyjadruje takáto stratégia? Pre aké ceny akcie v čase expirácie bude zisková?

:: Obmedzenia na ceny opcií ::

• Označme c(S,,E), p(S,,E) cenu call, resp. put opcie s expiračnou cenou E, ak aktuálna cena akcie je S a do expirácie opcie zostáva čas .
• Ceny opcií musia vyhovovať určitým nerovnostiam, ktoré vyplývajú z neprípustnosti arbitráže. Myšlienka ich dôkazu je nasledovná: Uvažujme dve portfóliá (zložené z akcií, opcií a dlhopisov). Ak v čase expirácie opcií platí pre hodnoty týchto portfólií nerovnosť P₁ P₂, tak rovnaká nerovnosť pre hodnoty portfólií musí platiť aj vo všetkých predchádzajúcich časoch.
• Príklad: Dokážte, že c(S,,E₁) c(S,,E₂) pre E₂ E₁
  
  Riešenie: Uvažujme dve portfóliá. V prvom budeme mať opciu s expiračnou cenou E₁, v druhom opciu s expiračnou cenou E₂. Nerovnosť hovorí, že ak do expirácie opcií zostáva čas , tak hodnota prvého portfólia je menšia alebo rovná hodnote druhého portfólia. Podľa horeuvedenej úvahy stačí túto nerovnosť dokázať v čase expirácie.
  
  V čase expirácie bude mať prvé portfólio hodnotu max(S-E₁,0), druhé portfólio bude mať hodnotu max(S-E₂,0).
  

  	0 S E2	E2 S E1	E1 S
  portfólio 1	0	0	S- E1
  portfólio 2	0	S- E2	S- E2
  porovnanie	0=0	0 S- E2	S- E1 S- E2

  
  Vidíme teda, že nerovnosť platí pre ľubovoľné S.

:: Cvičenia (3) ::

1. Uvažujme nasledovné ceny call opcií:

   Expiračná cena	Cena call opcie
   10	30
   15	26
   20	27
   25	23
   30	19

   Nájdite arbitrážnu príležitosť - teda takú stratégiu, ktorá bez ohľadu na cenu akcie v čase expirácie opcií prinesie zisk. Nakreslite profit diagram vašej stratégie.
2. Dokážte, že p(S,,E₁) p(S,,E₂) pre E₁ E₂ a zostavte príklad arbitrážnej príležitosti, ak táto nerovnosť neplatí (s konkrétnymi číslami, tak ako v predchádzajúcom cvičení).

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. [Vzorová písomka, 2008]
   
   
   
   
2. [Písomka, 2009]
   
   
   
   
3. [Rüdiger U. Seydel: Tools for Computational Finance.]
   
   
   
   
4. Dokážte:
   • S - E exp(-r ) c(S,,E) S, kde r je úroková miera.
   • Funkcia c(S,,E) je konvexnou funkciou expiračnej ceny E
   • Funkcia p(S,,E) je konvexnou funkciou expiračnej ceny E
   
   
5. [Vzorová písomka, 2009]
   
   
   
   
6. [Písomka, 2009]
   
   
   
   

---

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z finančných derivátov, FMFI UK Bratislava, LS 2009/2010