:: Repetitio est mater studiorum ::

Tak ako minulý týždeň, začneme opakovaním. Na začiatku cvičenia teda vypočítame nejaké príklady podobné tým, ktoré sme robili na predchádzajúcih cvičeniach:

1. Nájdite riešenie stochastickej diferenciálnej rovnice .
   Návod: Napíšte stochastickú diferenciálnu rovnicu, ktorú spĺňa proces .
   
   
2. V súbore orcl.txt sú denné dáta cien akcií (najstaršie sú na začiatku). Predpoklajme, že cena akcie sa riadi procesom .
   • Odhadnite z dát parametre tohto procesu.
   • Vypočítajte pravdepodobnosť, že o pol roka bude cena akcie aspoň o 30 percent vyššia ako dnes.
   • Nájdite pravdepodobnostné rozdelenie ročných výnosov.
   
   
3. Nájdite stratégiu s nasledovným payoffom:

:: Black-Scholesova parciálna diferenciálna rovnica ::

Pripomeňme si, že cena V(S,t) ľubovoľného derivátu európskeho typu spĺňa Black-Scholesovu parciálnu diferenciálnu rovnicu kde

• S je cena akcie,
• t je čas
• T je čas expirácie derivátu
• r je bezriziková úroková miera
• je volatilita ceny akcie, o ktorej predpokladáme, že sa riadi geometrickým Brownovym pohybom

Podľa druhu derivátu sa k rovnici pridáva koncová podmienka V(S,T) v čase expirácie.

:: Cvičenia (1) ::

1. Dosadením overte, že nasledujúce funkcie sú riešením Black-Scholesovej parciálnej diferenciálnej rovnice:
   • V(S,t) = c S, kde c je kladná konštanta
   • V(S,t) = c e^-r(T-t) kde c je kladná konštanta
   Aké deriváty predstavujú tieto riešenia?
   
   
2. Dokážte:
   • Ak payoff V(S,T) je nezáporný, tak aj V(S,t) je nezáporná funkcia pre každé S > 0, 0 < t < T.
   • Ak payoff V(S,T) je nezáporný a ostro kladný pre S z nejakého intervalu, tak V(S,t) je ostro kladná funkcia pre každé S > 0, 0 < t < T.
   Aká je finančná interpretácia týchto tvrdení?
   
   
3. Dokážte, že ak V je riešením Black-Scholesovej PDR, tak aj je riešením. Použite túto vlastnosť riešenia na dôkaz nasledovného tvrdenia: Ak je derivácia payoffu nezáporná pre každé S > 0, tak aj derivácia je nezáporná pre každé S > 0, t < T. Aká je jeho interpretácia?

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. Nájdite všetky riešenia Black-Scholesovej rovnice, ktoré majú tvar V=V(S). Týmto spôsobom nájdete všetky také deriváty, ktoré môže na trhu existovať (a nevytvoria arbitráž), ktorých hodnota závisí len aktuálnej ceny akcie, ale nie od času.
   
   
2. Dokážte, ak je druhá derivácia payoffu nezáporná pre každé S > 0, tak aj druhá derivácia ceny je nezáporná pre každé S > 0, 0 < t < T.