:: Lelandov model (zahrnutie transakčných nákladov) ::

• Lelandov model (Hayne E. Leland: Option Pricing and Replication with Transactions Costs, 1985)
• Bid a ask cena akcie: S_bid, S_ask - definujeme
  • S=(S_bid + S_ask)/2
  • c=(S_ask - S_bid)/S
• Transakčné náklady na jednu transakciu: (c/2)S

• Aké by malo byť c? Zrátajme si na ukážku, čomu sa rovná pre tieto akcie: (Ide o bid a ask ceny iba v jednom konkrétnom okamihu, pre presnejší odhad by sme potrebovali viac dát.)
  
  
• PDR pre ceny derivátov:
  • Replikačné portfólio v Black-Scholesovom modeli: 1 opcia, , akcií spojité obchodovanie.
  • V prípade transakčných nákladov: 1 opcia, akcií, portfólio meníme v intervaloch dĺžky , počet transakcií je
    
  • Zmena hodnoty portfólia:
    
  • Na cvičení odvodíme rovnicu:
    
• Pre call a put opciu:
  • Definujeme Lelandovo číslo
    
  • Pre Lelandovo číslo z intervalu (0,1) dostávame cenu call, resp. put opcie pomocou Black-Scholesovho vzorca s upravenou volatilitou:
    
    Dôkaz: dosadíme do rovnice, využujeme, že cena call a put opcie v Black-Scholesovom modeli je konvexná funkcia premennej S.

:: Cvičenia (1) ::

1. Dokážte, že prítomnosť transakčných nákladov znižuje cenu opcie.
   
   
2. Napíšte funkciu, ktorá počíta hodnotu Lelandovho čísla (v závislosti of volatility akcie, konštanty c, intervalu medzi dvoma zaisteniami portfólia). Napíšte funkciu, ktorá overí podmienku, že Lelandovo číslo je z intervalu (0,1). Ak je splnená, vypočíta hodnotu call a put opcie za prítomnosti transakčných nákladov (parametre: cena akcie, expiračná cena, volatilita, čas do expirácie, úroková miera, konštanta c, interval medzi dvoma zaisteniami portfólia).
   
   
3. Zvoľte si parametre akcie a opcie, a úrokovú mieru - vstupy potrebné do Lelandovho modelu. Aké časy medzi dvoma zmenami portfólia sú prípustné? Pre jeden z nich vypočítajte cenu opcie a porovnajte ju s Black-Scholesovou cenou.

:: Modelovanie bid-ask spreadov pomocou Lelandovho modelu ::

• Cenu z predchádzajúceho odvodenia môžeme považovať za ponuku na kúpu opcie.
• Ak chceme odvodiť ponuku na predaj, uvažujeme portfólio, v ktorom dlhujeme jednu opciu. Toto portfólio hedžujeme. Rovnakým postupom dostaneme:
  
• Cenu call, resp. put opcie znovu dostaneme pomocou Black-Scholesovho vzorca, pričom upravená volatilita je:
  
• To znamená, že upravené volatility sú:
  
  a rozdiel medzi ask a bid cenou je
  
  
  

  ---

  
  
• Tieto výsledky nám umožňujú odhadnúť parametre modelu z dát:
  1. Vypočítame implikované bid a ask volatility a z bid a ask ceny opcie:
     
  2. Riešením sústavy rovníc vypočítame parametre (implikovaná volatilita), Le:
     
  3. Z bid a ask ceny akcie vypočítame konštantu c z Lelandovho modelu.

  4. Nakoniec vypočítame implikovaný čas medzi dvoma prerovnaniami porfólia pri hedžingu opcie:
     

:: Cvičenia (2) ::

1. Použite uvedený postup na odhad parametrov Lelandovho modelu pomocou niektorej z nasledovných call opcií (dáta sú zo 17. marca 2010):

:: Poznámky ::

• Ako voliť dĺžku intervalu medzi dvoma nasledujúcimi zmenami portfólia? Existujú modely (RAPM - Risk Adjusted Pricing Methodology), ktoré berú do úvahy dve veci:
  • transakčné náklady - tie sa klesajú, keď rastie dĺžka časového intervalu medzi dvoma nasledujúcimi zmenami portfólia
  • riziko z nezabezpečeného portfólia - ak rastie dĺžka tohto časového intervalu, vzniká stále väčšie riziko z výkyvov cien na trhu, keďže naše portfólio sa vzďaľuje od replikačného portfólia zo spojitého modelu
  Dá sa to znázorniť nasledovne:

• Rovnica na oceňoavanie derivátov v Lelandovom modeli s transakčnými nákladmi
  
  nie je lineárna. To znamená, že napríklad súčet, rozdiel, alebo nejaká iná kombinácia riešení už nie je riešením. Z toho vyplýva, že cena kombinovaných stratégií sa už nedá vypočítať tak, že oceníme každú opciu zvlášť a výsledok zložíme. (To sa dá len pri lineárnych rovniciach, ako je napríklad pôvodná Black-Scholesova rovnica.) Nemožnosť takéhoto výpočtu sa dá vidieť aj z nasledovnej úvahy:

  Ak oceníme každú opciu samostatne, zarátavame tak transakčné náklady vznikajúce z udržiavania každého replikačného portfólia zvlášť. Ak nemáme transakčné náklady, nevadí, že udržiavame akoby dve replikačné portfóliá. Môže sa stať, že v jednom akcie kupujeme a v druhom predávame. Žiadne náklady z toho však nevznikajú. V prípade transakčných nákladov to už nie je pravda. Vtedy treba portfólio uvažovať ako celok, a v prípade uvedenej situácie nerobiť zbytočné transakcie.

:: Ďalšie príklady na precvičenie ::

1. [Vzorová písomka, 2009]
   
   
   
2. [Písomka, 2009]
   
   Poznámka: Teraz sme na cvičení pracovali s opciami firmy AMZN, takže pri riešení tejto úlohy si vyberte niektorú z týchto put opcií.
   
   
3. Uvažujme rozdiel bid a ask ceny opcie ako funkciu ceny akcie S. (Ostatné parametre - volatilita akcie, parameter c charakterizujúci transakčné náklady, úroková miera, expiračná cena a čas expirácie opcie - sú konštantné).
   • Znazornite graficky tento rozdiel pre zvolené hodnoty parametrov.
   • Pre akú cenu akcie je tento rozdiel maximálny? Vypočítajte analyticky pre všeobecné hodnoty parametrov.

---

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z finančných derivátov, FMFI UK Bratislava, LS 2009/2010