:: Konvergencia Gauss-Seidelovej metódy ::

• Na výpočet riešenia sústavy lineárnych rovníc sme použili Gauss-Seidelovu metódu.
• Ak je matica sústavy diagonálne dominantná, Gauss-Seidelova metóda konverguje k riešeniu pre ľubovoľný štartovací bod.
• Vidíme, že matica z našej úlohy je diagonálne dominantná.

:: Rýchlosť konvergencie metódy ::

• Najskôr si pripomeňme, čo je to spektrálny polomer matice a ako súvisí s maticovými normami:
  • Spektrálny polomer je maximum z absolútnych hodnôt vlastných čísel matice:
    
  • Pre maticovú normu platí:
    
    Túto vlastnosť si numericky vyskúšame v Matlabe:
    • Maticové normy v Matlabe:

    • Pre maticu, ktorú si vytvoríme - napríklad náhodnú:
      teda vieme vypočítať spektrálny polomer
      a počítať normy jej mocnín. Pre 1-normu dostaneme:

    • Zopakujte pre inú maticu a/alebo inú normu.
  • Pre k veľké teda máme:
    

• Vrátime sa teraz k metódam riešenia sústavy rovníc. Metódu zapíšeme v tvare
  
  a budeme počítať vzdialenosť n-tej iterácie od presného riešenia:
  
  Spektrálny polomer matice T by teda mal byť menší ako 1 a čo najbližšie k nule.

:: SOR (successive over relaxation) metóda

• Ako urýchliť konvergenciu Gauss-Seidelovej metódy?
• Modifikáciou Gauss-Seidelovej metódy je SOR (successive over relaxation) metóda:
  
  Pre =1, dostávame pôvodnú Gauss-Seidelovu metódu, > 1 - over-relaxation, < 1 - under-relaxation.
• Bez dôkazu uvedieme nasledovné tvrdenia týkajúce sa konvergencie tejto metódy:
  • Nutnou podmienkou na to, aby SOR metóda konvergovala, je, že parameter je z intervalu (0,2)
  • Pre sústavu, ktorú riešime pri numerickom riešení B-S rovnice, konverguje SOR metóda pre ľubovoľné z intervalu (0,2).
• Ak túto maticu rozložíme na jej dolnú trojuholníkovú časť (L), hornú (U) a diagonálnu (D), tak SOR metódu môžeme napísať v tvare
  
  kde
  
  Optimálna voľba parametra teda závisí od spektrálneho polometru matice T. Ten závisí od parametrov modelu a delenia, ktoré sme použili.

  Ukážka:

  • spektrálny polomer matice T v závislosti od parametra :

  • počet iterácií potrebný na výpočet riešenia na jednej časovej vrstve:

  • čas výpočtu v sekundách:

  Samozrejme, počítať spektrálny polomer a tak určovať parameter , by nebolo efektívne. Takéto grafy nám však dávajú predstavu o tom, ako tento parameter vplýva na konvergenciu. Prakticky zvolíme hodnotu zhruba medzi 1.5 a 1.9.

:: Cvičenie ::

Upravte funkciu gs.m tak, aby počítala zadanú sústavu SOR metňodou so zadaným parametrom . :

Použite ju na výpočet numerického riešenia ceny call opcie - hlavný program zostáva rovnaký, jediná zmena je, že namiesto funkcie gs voláte funkciu sor.

:: Ďalšie úlohy na precvičenie ::

1. Naprogramujte numerický výpočet ceny put opcie. (Okrajové podmienky: ak je cena akcie S blízka nule, cena put opcie je približne E*exp(-r*tau)-S*exp(-D*tau), ak je cena akcie veľmi veľká, cena put opcie je blízka nule.)

2.  
   Mali by ste dostať podobné grafy ako sú vyššie na tejto stránke.

---

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z finančných derivátov, FMFI UK Bratislava, LS 2009/2010