III. Diferenciálny počet funkcii

viacerých premenných

1. Limita a spojitost’

1.1. Definícia reálnej funkcie

Definícia 1.1.1. Nech M ⊂ R^{n}, M = ∅. Reálnu funkciu definovanú na množine M nazývame reálnou funkciou n premenných. Budeme ju označovat’ f : M → R^{1}, alebo f(x), alebo f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}).

Množinu M budeme nazývat’ definičným oborom funkcie f. Pod symbolom f(x) budeme tiež rozumiet’ hodnotu funkcie f v bode x. Ak funkcia je určená vzorcom a nie je udaný jej obor definície, rozumieme jej oborom definície množinu všetkých tých bodov x, pre ktoré je hodnota f(x) reálne číslo.

Poznámka 1.1.1. Pojmy ako sú ohraničenost’ funkcie, maximum, minimum, supremum, infimum funkcii, parciálna funkcia, sú tie isté ako v prípade funkcie jednej premennej. Tak isto i operácie s funkciami viac premenných sa definujú tak, ako to bolo v prípade funkcií jednej premennej.

Poznámka 1.1.2. Funkciu dvoch premenných budeme často označovat’ z = f(x, y) a funkciu troch premenných budeme označovat’ u = f(x, y, z).

1.2. Graf reálnej funkcie n premenných

Definícia 1.2.1. Grafom funkcie f(x), definovanej na množine M ⊂ R^{n}, M ≠ ∅, rozumieme množinu G všetkých takých bodov (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}, x_{n+1}) ∈ R^{n+1}, pre ktoré platí: (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) ∈ M, x_{n+1} = f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}). Pri zostrojovaní grafu funkcie dvoch premenných je výhodné zostrojit’ priesečnice grafu funkcie rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami, alebo rovinami prechádzajúcimi niektorou zo súradnicových osí. Nazývame ich rezmi. Rezy rovnobežné s rovinou R_{xy} nazývame vrstevnicami.

1.3. Definícia vektorovej funkcie n premenných

Definícia 1.3.1. Nech M ⊂ R^{n}, M ≠ ∅. Vektorovou funkciou n premenných budeme rozumiet’ takú funkciu, ktorá každému bodu x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) ∈ M priradí nejaký vektor y = (y_{1}, y_{2}, ..., y_{m}) ∈ R^{m}. Vektorovú funkciu n premenných budeme označovat’ f : M → R^{m}, alebo y = f(x), alebo

\begin{aligned}y_{1} & = f_{1}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) \\ y_{2} & = f_{2}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) \\ … & . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ y_{m} & = f_{m}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}). \end{aligned}

1. Daná je funkcia z = f(x, y). Vypočítajte f(1, \frac{1}{2}), f(−1, 2), ak:

a) f(x, y) = \sqrt{x^{2}y + y + 1}

b) f(x, y) = arcsin(x + y).

2. Nájdite definičné obory daných funkcií z = f(x, y) resp. u = f(x, y, z) a znázornite ich v R^{2} resp. R^{3}, ak:

a) f(x, y) = \frac{1}{r^{2}−x^{2}−y^{2}} , r > 0  b) f(x, y) = \sqrt{1 − \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}}} , a > b > 0
c) f(x, y) = ln(y^{2} − 4x + 8)  d) f(x, y) = \sqrt{x. sin y}
e) f(x, y) = \sqrt{(1 − x^{2})(1 − y^{2})}  f) f(x, y) = ln x − ln sin y
g) f(x, y) = arcsin \frac{y−1}{x}  h) f(x, y) = ln xy + πy^{2}\sqrt{x^{2} − y^{2}}

i) f(x, y) = ln(9 − x^{2} − y^{2}) + \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}−1}} + arcsin \frac{y}{x}

j) f(x, y, z) = \frac{x}{|y|+|z|}  k) f(x, y, z) = ln xyz

l) f(x, y, z) = \sqrt{4 − x^{2} − y^{2} − z^{2}}.

3. Aké druhy kriviek sú rezy grafov daných funkcií z = f(x, y) rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami R_{xz}, R_{yz}?

a) f(x, y) = x^{2} − y^{2}

b) f(x, y) = xy^{2}.

4. Nájdite vrstevnice na grafoch funkcií z = f(x, y):

a) f(x, y) = \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}

b) f(x, y) = 3x^{2} + 2y^{2}

c) f(x, y) = xy.

5. Načrtnite grafy funkcií:

a) z = x − y  b) z = −x − y + 1
c) z = 4x^{2} + 9y^{2}  d) z = x^{2} − y^{2}
e) z = 4 − x^{2} − y^{2}  f) z = \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}
g) z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}  h) z = 1 − y^{2}.

1.4. Limita funkcie n premenných

Definícia 1.4.1. Funkcia f má v hromadnom bode a svojho definičného oboru M limitu číslo b, ak ∀ε > 0 ∃ δ > 0 tak, že ∀x ∈ M, pre ktoré 0 < ϱ(x, a) < δ je | f(x) − b |< ε. Limitu funkcii f v bode a budeme označovat’ takto:

lim_{x→a} f(x), alebo lim_{{x_{1}→a_{1} \atop x_{2}→a_{2}} ; ....... ; xn→an} f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}),

kde a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} sú súradnice bodu a.

Definícia limity vektorovej funkcie f v bode a

Definícia 1.4.2. Funkcia f má v hromadnom bode a svojho definičného oboru M limitu B = (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}), ak ∀ε > 0 ∃δ > 0 tak, že ∀x ∈ M, pre ktoré 0 < ϱ(x, a) < δ je f(x) ∈ O_{ε}(B).

Limitu vektorovej funkcie f v bode a budeme označovat’ takto:

lim_{x→a} f(x),  alebo  lim_{{x_{1}→a_{1} \atop x_{2}→a_{2}} ; ......... ; xn→an} f_{1}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

lim_{{x_{1}→a_{1} \atop x_{2}→a_{2}} ; ......... ; xn→an} f_{m}(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}).

Veta 1.4.1. Nech a je hromadný bod oboru definície M funkcie f. Funkcia f má v bode a limitu číslo b práve vtedy, ak pre každú postupnost’ bodov {x^{(k)}}_{k=1}^{∞} z množiny M x^{(k)} ≠ a, k = 1, 2, ..., ktorá konverguje k bodu a je lim_{k→∞} f(x^{(k)}) = b.

Poznámka 1.4.1. Pre funkciu n premenných platia analogické vety ako pre limitu funkcie jednej premennej.

Definícia 1.4.3. Funkcia f sa nazýva nekonečne malá v bode a, ak lim_{x→a} f(x) = 0.

Definícia 1.4.4. Ak f a g sú funkcie nekonečne malé v bode a a lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0, potom

hovoríme, že f je v bode a nekonečne malá vyššieho rádu ako g a píšeme f = o(g) pre x → a.

Poznámka 1.4.2. Pod symbolom x → ∞, kde x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) budeme rozumiet’ x_{i} → ∞, i = 1, 2, ..., n.

Definícia 1.4.5. Nech funkcia f je definovaná na množine M, ktorá obsahuje body l’ubovol’ne vzdialené od bodu 0 = (0, 0, ..., 0). Číslo b sa nazýva limitou funkcie f pre x → ∞ práve vtedy, ak ∀ε > 0 ∃ K > 0 tak, že ∀x ∈ M, pre ktoré ϱ(x, 0) > K platí | f(x) − b |< ε.

Dvojnásobné limity funkcie dvoch premenných

Definícia 1.4.6. Nech funkcia f(x, y) je definovaná na množine M ⊂ R^{2} a nech [x_{0}, y_{0}] je hromadným bodom množiny M. Nech pre každé x ≠ x_{0} také, že [x, y] ∈ M existuje lim_{y→y_{0}} f(x, y) = g(x) a nech táto funkcia má v bode x_{0} limitu, potom lim_{x→x_{0}} g(x) =

lim_{x→x_{0}} [ lim_{y→y_{0}} f(x, y)] sa nazýva dvojnásobná limita funkcie f v bode [x_{0}, y_{0}] podl’a y a x.

Analogicky sa definuje dvojnásobná limita funkcie f(x, y) v bode [x_{0}, y_{0}] podl’a x a y.

Označme: l = lim_{{x→x_{0} \atop y→y_{0}}} f(x, y), l_{12} = lim_{x→x_{0}} [ lim_{y→y_{0}} f(x, y)] , l_{21} = lim_{y→y_{0}} [ lim_{x→x_{0}} f(x, y)].

Veta 1.4.2. Nech existuje limita funkcie f(x, y) v bode [x_{0}, y_{0}] a nech existuje l’ubovol’ná z dvojnásobných limít, potom sa tieto limity rovnajú.

Dôsledok 1.4.1. Ak existuje l, l_{12}, l_{21}, potom l = l_{12} = l_{21}.

Dôsledok 1.4.2. Ak l_{12} ≠ l_{21}, potom limita funkcie f(x, y) v danom bode [x_{0}, y_{0}] neexistuje.

Poznámka 1.4.3. Pojem dvojnásobnej limity možno definovat’ aj v prípade, že x_{0} alebo y_{0}, alebo x_{0} i y_{0} sú rovné ∞ alebo −∞.

Poznámka 1.4.4. Z existencie dvojnásobných limít funkcie f v danom bode a z ich rovnosti nevyplýva existencia limity v tomto bode. Pozri príklady 21. a), 23. b).

Poznámka 1.4.5. Z existencie limity funkcie f v danom bode nevyplýva existencia dvojnásobných limít funkcie f v tomto bode. Pozri príklady 22.,26.

6. Definujte limitu funkcie f : M ⊂ R^{n} → R^{m} pomocou normy v R^{n} resp. R^{m}.

7. Definujte nevlastnú limitu funkcie f : M ⊂ R^{n} → R^{m}.

V nasledujúcich príkladoch vypočítajte limity:

8. lim_{{x→1 \atop y→2}}(x^{2} + y + 2).  9. lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{2 − \sqrt{4 − xy}}{xy}.
10. lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} − 1}.  11. lim_{{x→0 \atop y→a}} \frac{sin xy}{x}.
12. lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{1 − cos(x^{2} + y^{2})}{(x^{2} + y^{2})x^{2}y^{2}}.  13. lim_{{x→4 \atop y→0}} \frac{tg xy}{y}.
14. lim_{{x→∞ \atop y→∞}} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} .  15. lim_{{x→∞ \atop y→∞}}(x^{2} + y^{2})e^{−(x+y)}.
16. lim_{{x→∞ \atop y→∞}} (\frac{xy}{x^{2} + y^{2}} )^{x^{2}}.  17. lim_{{x→0 \atop y→0}} (x^{2} + y^{2})^{x^{2}y^{2}}.

18. lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} + y^{2}} .

19. a) lim_{{x→0 \atop y→2}} (1 + xy)^{\frac{2}{x^{2}+xy}}.  b) lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{e^{− \frac{1}{x^{2}+y^{2}}}}{x^{4} + y^{4}} .

20. Zistite, či existuje:

a) lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} .  b) lim_{{x→0 \atop y→0}} \begin{matrix}sin & xy \\ √ & \overline{x^{2} + y^{2}} \end{matrix} .

21. Dokážte, že nasledujúce limity neexistujú:

a) lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{x^{2} + xy + y^{2}}{x^{2} − xy + y^{2}} .  b) lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{sin | x − y |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.
c) lim_{{x→1 \atop y→0}} \frac{ln(x + y)}{y}.  d) lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} .

22. Dokážte, že funkcia f(x, y) = (x + y) sin \frac{1}{x} sin \frac{1}{y} je nekonečne malá v bode (0, 0).

23. Vypočítajte dvojnásobné limity ( lim_{x→x_{0}} lim_{y→y_{0}} f(x, y) a lim_{y→y_{0}} lim_{x→x_{0}} f(x, y)):

a) f(x, y) = \frac{x − y}{x + y} v x_{0} = 0, y_{0} = 0.  b) f(x, y) = \frac{x^{2} + xy + y^{2}}{x^{2} − xy + y^{2}} v x_{0} = 0, y_{0} = 0.
c) f(x, y) = \frac{cos x − cos y}{x^{2} + y^{2}} v x_{0} = 0, y_{0} = 0. d) f(x, y) = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{4}} v x_{0} = ∞, y_{0} = ∞.

24. Ukážte, že pre funkciu f(x, y) = \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x−y)^{2}} platí:

lim_{x→0} lim_{y→0} f(x, y) = lim_{y→0} lim_{x→0} f(x, y) = 0,

ale lim_{{x→0 \atop y→0}} f(x, y) neexistuje.

25. Ukážte, že lim_{x→∞} lim_{y→∞} \frac{x^{2} + y^{2}}{1 + (x − y)^{4}} = lim_{y→∞} lim_{x→∞} \frac{x^{2} + y^{2}}{1 + (x − y)^{4}} , ale lim_{{x→∞ \atop y→∞}} \frac{x^{2} + y^{2}}{1 + (x − y)^{4}}

neexistuje.

26. Zistite, či existujú dvojnásobné limity funkcii f(x, y) = (x+y) sin \frac{1}{x} sin \frac{1}{y} v bode (0, 0).

1.5. Spojitost’ funkcie n premenných

Definícia 1.5.1. Nech f : M → R^{1}, M ⊂ R^{n}. Hovoríme, že funkcie f je spojitá v bode a ∈ M, ak pre l’ubovol’né okolie O(f(a)) bodu f(a) existuje také okolie O(a) bodu a, že f[O(a) ∩ M] ⊂ O(f(a)).

Poznámka 1.5.1. Ak v definícii 1.5.1. budeme predpokladat’, že a je hromadným bodom množiny M, tak dostaneme nasledujúce tvrdenie.

Veta 1.5.1. Nech f : M → R^{1}, M ⊂ R^{n}, nech a je hromadným bodom množiny M,

a ∈ M potom f je spojitá funkcia v bode a vtedy a len vtedy, ak lim_{x→a} f(x) existuje a platí

lim_{x→a} f(x) = f(a).

Definícia 1.5.2. Body, v ktorých nie je funkcia f spojitá sa nazývajú body nespojitosti tejto funkcie.

Definícia 1.5.3. Prírastkom funkcie f v bode a nazývame funkciu △f = f(x) − f(a),

x ∈ M. Nech a = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) a x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}), ak označíme △x_{i} = x_{i} − a_{i},

i = 1, 2, ..., n, tak △f môžeme napísat’ v tvare

△f = f(a_{1} + △x_{1}, a_{2} + △x_{2}, ..., a_{n} + △x_{n}) − f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}).

Veta 1.5.2. lim_{x→a} f(x) = f(a) ⟺ lim_{x→a} △f = 0.

Spojitost’ funkcie vzhl’adom na jednotlivé premenné

Nech všetky premenné funkcie f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{3}) okrem jednej sú pevné, napr. x_{i} = a_{i}, i = {1, 2, ..., k −1, k +1, ..., n} a x_{k} je premenná. Premennej x_{k} prislúcha prírastok △x_{k}. Prírastok funkcie f v bode a prislúchajúci prírastku △x_{k} označíme takto:

△_{x_{k}}f = f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k−1}, a_{k} + △x_{k}, a_{k+1}, ..., a_{n}) − f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}).

Definícia 1.5.4. Funkcia f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) sa nazýva spojitá v hromadnom bode a = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) svojho definičného oboru f vzhl’adom k premennej x_{k}, ak lim_{△x_{k}→0} △_{x_{k}}f = 0.

Veta 1.5.3. Ak je funkcia f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) definovaná v nejakom okolí bodu a = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) a je spojitá v bode a, potom je spojitá vzhl’adom ku každej premennej zvlášt’.

Poznámka 1.5.2. Vety o spojitosti súčtu, rozdielu, súčinu a podielu dvoch funkcii platia analogicky ako pre funkciu jednej premennej.

Definícia 1.5.5. Nech funkcia y = f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) je definovaná na množine M ⊂ R^{n}. Nech x_{i} = φ_{i}(t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}), i = 1, 2, ..., n je n funkcií k premenných, ktoré sú definované na množine M_{t} ⊂ R^{k}. Nech pre tieto funkcie platí, že pre bod [φ_{1}(T), φ_{2}(T), ..., φ_{n}(T)] ∈ M, ak T = [t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}] ∈ M_{t}. Potom môžeme na množine M definovat’ funkciu F k premenných tak, že pre každý bod T = [t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}] ∈ M_{t} je F (T) = f(φ_{1}(T), φ_{2}(T), ..., φ_{n}(T)). Táto funkcia sa nazýva zložená funkcia.

Veta 1.5.4. Nech funkcie x_{i} = φ_{i}(t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}) pre i = 1, 2, ..., n sú spojité v bode a = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}) a funkcia f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) je spojitá v bode b = (b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}), kde b_{i} = φ_{i}(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}), i = 1, 2, ..., n. Potom zložená funkcia f[φ_{1}(t_{1}, t_{2}, ..., t_{k}), ..., φ_{n}(t_{1}, t_{2}, ..., t_{k})] je spojitá v bode a.

Definícia 1.5.6. Funkcia f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) sa nazýva spojitá na množine M, ak je spojitá v každom bode množiny M.

Definícia 1.5.7. Funkcia f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) sa nazýva rovnomerne spojitá na množine M práve vtedy, ak ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 tak, že ∀x^{(1)}, x^{(2)} ∈ M, ktoré vyhovujú nerovnosti ϱ(x^{(1)}, x^{(2)}) < δ platí | f(x^{(1)}) − f(x^{(2)}) |< ε.

Veta 1.5.5. Funkcia spojitá na uzavretej ohraničenej množine M ⊂ R^{n} má tieto vlastnosti:

1. f je ohraničená na množine M.

2. f má na množine M maximum a minimum.

3. f je na množine M rovnomerne spojitá.

Nájdite body nespojitosti funkcií:

27. f(x, y) = \frac{x−y}{x^{3}−y^{3}} .  28. f(x, y) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} .
29. f(x, y) = ln(4 − x^{2} − y^{2}).  30. f(x, y) = sin \frac{x}{y}.
31. f(x, y) = \frac{sin x. sin y}{xy}.  32. f(x, y, z) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}−z^{2}} .

33. f(x, y, z) = \frac{2y}{(x−1)^{2}+(y−2)^{2}+(z+1)^{2}} .

34. Dokážte, že funkcia f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} , & x^{2} + y^{2} ≠ 0 \\ 0, & x^{2} + y^{2} = 0 \end{matrix} je spojitá v bode (0, 0) vzhl’adom

na každú premennú zvlašt’, ale nie je spojitá vzhl’adom k obidvom premenným.

35. Zistite, či je funkcia f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{cos(x−y)−cos(x+y)}{2xy}, & xy ≠ 0 \\ 1, & xy = 0 \end{matrix} v bode (0, 0) a v bode (1, 0) spojitá vzhl’adom na každú premennú zvlášt’ a spojitá v týchto bodoch vzhl’adom k obidvom premenným.

36. Pre akú hodnotu c je funkcia

f(x, y, z) = \{ \begin{matrix}3x + 4y − 2z + 5, & x ≠ 0, y ≠ 1, z ≠ 2 \\ c, & x = 0, y = 1, z = 2 \end{matrix}

v bode (0, 1, 2) spojitá ?

37. Dokážte, že ak je na množine M funkcia f(x, y) spojitá vzhl’adom na každú premennú zvlášt’ a monotónna vzhl’adom na jednu z premenných, potom je funkcia f(x, y) spojitá na množine M.

38. Dokážte, že ak na množine M je funkcia f(x, y) spojitá vzhl’adom na premennú x a spl’ňa Lipschitzovu podmienku vzhl’adom na y t.j. | f(x, y_{1}) − f(x, y_{2}) |≤ L. | y_{1} − y_{2} |, pričom (x, y_{1}), (x, y_{2}) ∈ M a L je konštanta, potom je funkcia f(x, y) spojitá na množine M. Dokážte, že nasledujúce funkcie sú ohraničené na daných množinách a nájdite ich maximum a minimum, ak existujú:

39. f(x, y) = \frac{x^{6}+y^{6}}{x^{2}+y^{2}} , M = \{(x, y) ∈ R^{2} :) < x^{2} + y^{2} ≤ 9\}.

40. f(x, y) = xye^{−xy}, M = {(x, y) ∈ R^{2} : x ≥ 0, y ≥)}.

41. Dokážte, že funkcia f(x, y) = x + 2y + 3 je rovnomerne spojitá v celej rovine R^{2}.

42. Ako treba zmenit’ definíciu funkcie f(x, y) = \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} , aby bola rovnomerne spojitá na množine M = {(x, y) ∈ R^{2} : 0 < x^{2} + y^{2} ≤ 1}?

43. Zistite, či funkcia f(x, y) = arcsin \frac{x}{y} je rovnomerne spojitá na svojom obore definície. Zistite, či nasledujúce funkcie sú rovnomerne spojité na uvedených množinách:

44. f(x, y) = sin \frac{π}{1−x^{2}−y^{2}} , M = \{(x, y) ∈ R^{2}, x^{2} + y^{2} < 1\}.

45. f(x, y) = x^{2} + y^{2}, M = {(x, y) ∈ R^{2}, x^{2} + y^{2} ≤ 1}.

46. f(x, y) = x^{3} − y^{3}, M = {(x, y) ∈ R^{2}, 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}.

47. f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, M = R^{2}.