IV. Parametrické integrály

1. Riemannov parametrický integrál

Definícia 1.1. Nech E =< a, b > ×(c, d) a nech funkcia f : E → R je pre každé y ∈ (c, d) riemannovsky integrovatel’ná na intervale < a, b >. Potom funkciu

F (y) = ∫_{a}^{b} f(x, y)dx

nazývame Riemannovým parametrickým integrálom. Veta 1.1. Ak je funkcia f spojitá na množine E, tak funkcia F je spojitá na intervale (c, d). Veta 1.2. Ak je funkcia f spojitá na množine E a hranice integrovania sú spojité funkcie φ a ψ, ktoré zobrazujú interval (c, d) do intervalu < a, b >, tak funkcia

I(y) = ∫_{φ(y)}^{ψ(y)} f(x, y)dx

je spojitá na intervale (c, d). Veta 1.3. Za predpokladov vety 1.1, resp. vety 1.2, platí pre y_{0} ∈ (c, d):

lim_{y→y_{0}} ∫_{a}^{b} f(x, y)dx = ∫_{a}^{b} lim_{y→y_{0}} f(x, y)dx,

resp.

lim_{y→y_{0}} ∫_{φ(y)}^{ψ(y)} f(x, y)dx = ∫_{φ(y_{0})}^{ψ(y_{0})} f(x, y_{0})dx.

Veta 1.4. Ak spojitá funkcia f : E → R má na množine E spojitú parciálnu deriváciu \frac{∂f}{∂y}, tak funkcia F (y) = ∫_{a}^{b} f(x, y)dx je diferencovatel’ná na (c, d) a platí

F′(y) = ∫_{a}^{b} \frac{∂f(x, y)}{∂y}dx (tzv. Leibnizov vzorec).

Veta 1.5. Ak spojitá funkcia f : E → R má na množine E spojitú parciálnu deriváciu \frac{∂f}{∂y} a funkcie φ a ψ, ktoré zobrazujú interval (c, d) do intervalu < a, b >, sú diferencovatel’né na (c, d), tak funkcia I(y) = ∫_{φ(y)}^{ψ(y)} f(x, y)dx je diferencovatel’ná na (c, d) a platí

I′(y) = f (ψ(y), y) ψ′(y) − f (φ(y), y) φ′(y) + ∫_{φ(y)}^{ψ(y)} \frac{∂f(x, y)}{∂y}dx.

Veta 1.6. Ak je funkcia f spojitá na množine < a, b > × < c, d >, tak

∫_{c}^{d} [∫_{a}^{b} f(x, y)dx] dy = ∫_{a}^{b} [∫_{c}^{d} f(x, y)dy] dx.

1. Nájdite definičný obor funkcie F (y) = ∫_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2} + y^{2}} .

2. Zistite, kde sú spojité nasledujúce funkcie:

a) F (y) = ∫_{0}^{1} \frac{dx}{x^{\frac{π}{4}} (x^{2} + y^{2} + 1)},

b) F (y) = \{ \begin{matrix}∫0^{\frac{π}{2}} \frac{y^{2}}{(x + |y|)\sqrt{tg \frac{y}{2}}} dx, & y ≠ 0, \\ 0, & y = 0, \end{matrix}

c) F (y) = \{ \begin{matrix}∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} \frac{x^{\frac{1}{3}}}{arctg (x^{2} + y^{2}) sin x}dx, & y ≠ 0, \\ 0, & y = 0. \end{matrix}

3. Zistite, pre ktoré hodnoty argumentu y je spojitá funkcia

F (y) = ∫_{0}^{1} \frac{yf(x)}{x^{2} + y^{2}} dx,

kde funkcia f je spojitá a kladná na intervale < 0, 1 >.

4. Dokážte, že funkcia

F (y) = ∫_{0}^{π} \frac{2 cos x + 2y}{1 + 2y cos x + y^{2}} dx

nie je spojitá v bodoch y = 1 a y = −1.

5. Ukážte, že integrál F (y) = ∫_{0}^{1} f(x, y)dx z nespojitej funkcie f(x, y) = sgn (x − y) je spojitou funkciou. Zostrojte graf funkcie F.

6.^{∗} Dokážte, že funkcia F (y) = ∫_{a}^{b} φ(x)f(x, y)dx je spojitá na < c, d >, ak sú splnené

podmienky:

(i) funkcia f je spojitá na < a, b > × < c, d >, (ii) funkcia φ je absolútne integrovatel’ná na intervale (a, b).

7. Nájdite:

a) lim_{y→0} ∫_{−1}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}dx, |y| < \frac{1}{2},  b) lim_{y→0} ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin(x + y)}{x^{2}y^{2} + xy + 1}dx,
c) lim_{y→0} ∫_{0}^{2} x^{2} cos xydx,  d) lim_{y→+∞} ∫_{1}^{2} \frac{y}{x + y} e^{−x^{2}y}dx,
e) lim_{y→0} ∫_{y}^{1+y} \frac{dx}{1 + x^{2} + y^{2}} , |y| < 1,  f) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{dx}{1 + (1 + \frac{x}{n})^{n}},

g) lim_{y→∞} ∫_{1}^{2} \frac{ln(x + |y|)}{ln(x^{2} + y^{2})}dx.

8. Nájdite lim_{R→∞} ∫0^{\frac{π}{2}} e^{−R sin θ}dθ.

9. Nech funkcia f je spojitá na intervale < A, B >. Dokážte, že

lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{a}^{x} [f(t + h) − f(t)] dt = f(x) − f(a) (A < a < x < B).

10. Je možné uskutočnit’ limitný prechod za znakom integrálu vo výraze

lim_{y→0} ∫_{0}^{1} \frac{x}{y^{2}} e^{− \frac{x^{2}}{y^{2}}} dx?

11. Dokážete, že v nasledujúcich prípadoch je možný limitný prechod za znakom integrálu:

a) ∫_{0}^{2} \frac{e^{−xy}}{\sqrt{x} + y^{2}} dx pre y → ∞,

b) ∫_{−1}^{3} arctg (\frac{xy}{1 + y} ) dx pre y → 0.

12. Nech

(i) funkcia \frac{∂f}{∂y} je spojitá na < a, b > × < c, d >, (ii) funkcia φ je absolútne integrovatel’ná na intervale (a, b). Potom integrál

F (y) = ∫_{a}^{b} φ(x)f(x, y)dx

je spojite diferencovatel’nou funkciou premennej y ∈ (c, d) a platí

F′(y) = ∫_{a}^{b} φ(x)\frac{∂f(x, y)}{∂y}dx.

Dokážte!

13. Vypočítajte F′(y), ak

F (y) = ∫_{0}^{1} arctg \frac{x}{y}dx, y > 0.

Čo možno povedat’ o derivácii v bode y = 0?

14. Je možné vypočítat’ pomocou Leibnizovho vzorca deriváciu funkcie

F (y) = ∫_{0}^{1} ln \sqrt{x^{2} + y^{2}}dx,

v bode y = 0?

15. Nájdite F′(y), ak

a) F (y) = ∫_{y}^{y^{2}} e^{−x^{2}y}dx,  b) F (y) = ∫_{y^{2}}^{3y^{2}+1} \frac{e^{xy}}{x} dx, y ≠ 0,
c) F (y) = ∫_{sin y}^{cos y} e^{y\sqrt{1−x^{2}}}dx,  d) F (y) = ∫_{a+y}^{b+y} \frac{sin xy}{x} dx,
e) F (y) = ∫_{0}^{y} \frac{ln(1 + xy)}{x}dx,  f) F (y) = ∫_{0}^{y} f(x + y, x − y)dx,

g) F (y) = ∫_{0}^{y^{2}} dx ∫_{x−y}^{x+y} sin (x^{2} + t^{2} − y^{2}) dt.

16. Nájdite F′′(y), ak

a) F (y) = ∫_{0}^{y}(x + y)f(x)dx, kde f je diferencovatel’ná funkcia,

b) F (y) = ∫_{a}^{b} |x − y|f(x)dx, kde a < b a f je spojitá funkcia na < a, b >,

c) F (y) = \frac{1}{h^{2}} ∫_{0}^{h} dξ ∫_{0}^{h} f (y + ξ + η) dη (h > 0), kde f je spojitá funkcia.

17. Nájdite F^{(n)}(y), ak

F (y) = ∫_{0}^{y}(y − x)^{n−1}f(x)dx

a f je spojitá funkcia.

18. Dokážte správnost’ vzorca

I_{n} = \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}} = ψ_{n}(x), n = 1, 2, …,

kde

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x}{x}, & ak x ≠ 0, \\ 1, & ak x = 0, \end{matrix}

ψ_{n}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x^{n+1}} ∫_{0}^{x} y^{n} cos (y + \frac{nπ}{2} ) dy, & ak x ≠ 0, \\ \frac{cos \frac{nπ}{2}}{n + 1} , & ak x = 0, n = 1, 2, …. \end{matrix}

Použijúc uvedený vzorec urobte odhad

|\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}} | ≤ \frac{1}{n + 1} pre x ∈ (−∞, +∞).

19. Funkciu f(x) = x^{2} na intervale < 1, 3 > približne zameňte lineárnou funkciou a + bx tak, aby hodnota integrálu

∫_{1}^{3} (a + bx − x^{2})^{2} dx

bola minimálna.

20. Dokážte, že Besselova funkcia celého indexu n

I_{n}(x) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} cos (nφ − x sin φ) dφ

vyhovuje Besselovej rovnici

x^{2}I′′_{n}(x) + xI′_{n}(x) + (x^{2} − n^{2}) I_{n}(x) = 0.

21. Vypočítajte ∫_{1}^{2} x^{n}dx pre n ≠ −1 a potom pomocou derivovania podl’a parametra

vypočítajte ∫_{1}^{2} x^{n} ln xdx.

22. Vyjdúc z rovnosti

∫_{0}^{b} \frac{dx}{1 + ax} = \frac{1}{a} ln (1 + ab)

odvod’te pomocou derivovania podl’a parametra vzorec

∫_{0}^{b} \frac{xdx}{(1 + ax)^{2}} = \frac{1}{a^{2}} ln (1 + ab) − \frac{b}{a(1 + ab)}.

23. Vyjdúc z rovnosti

∫_{0}^{b} \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}arctg \frac{b}{a}

vypočítajte

∫_{0}^{b} \frac{dx}{(x^{2} + a^{2})^{3}} , a ≠ 0.

24. Pomocou derivovania podl’a parametra vypočítajte nasledujúce integrály:

a) ∫0^{\frac{π}{2}} ln (a^{2} − sin^{2} x) dx, a > 1,  b) ∫ \frac{π}{2} ; 0 ln (a^{2} sin^{2} x + b^{2} cos^{2} x) dx,
c) ∫_{0}^{π} ln (1 − 2a cos x + a^{2}) dx,  d) ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{arctg (atg x)}{tg x}dx,

e) ∫ \frac{π}{2} ; 0 ln \frac{1 + a cos x}{1 − a cos x}.\frac{dx}{cos x}, |a| < 1.

25. V ktorých prípadoch je prípustná zámena poradia integrovania?

a) ∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{1} \frac{cos xy}{x + y} dx,  b) ∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{1} \frac{y^{2} − x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx,
c) ∫− \frac{π}{4}^{\frac{π}{4}} dy ∫_{0}^{1} \frac{tg (xy)}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}dx,  d) ∫_{0}^{1} dy ∫_{−1}^{1} \frac{1}{y} arctg \frac{x}{y}dx.

26. Použijúc vzorec

\frac{arctg x}{x} = ∫_{0}^{1} \frac{dy}{1 + x^{2}y^{2}} ,

vypočítajte integrál

∫_{0}^{1} \frac{arctg x}{x} \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

27. Pomocou integrovania podl’a parametra vypočítajte integrál

∫_{0}^{1} \frac{x^{b} − x^{a}}{ln x} dx, a > 0, b > 0.

28. Vypočítajte integrály:

a) ∫_{0}^{1} sin (ln \frac{1}{x}) \frac{x^{b} − x^{a}}{ln x} dx,

b) ∫_{0}^{1} cos (ln \frac{1}{x}) \frac{x^{b} − x^{a}}{ln x} dx, a > 0, b > 0.

29. Dokážte správnost’ vzorca

∫_{0}^{x} tI_{0}(t)dt = xI_{1}(x),

kde I_{0}(x) a I_{1}(x) sú Besselove funkcie indexov 0 a 1 (pozri úlohu 20).