Výsledky, návody a poznámky

1 (−∞, 0) ∪ (0, ∞). 2 a) Spojitá; b) spojitá; c) spojitá pre y ≠ 0. 3 Spojitá pre y ≠ 0. 7 a) 1; b) 1; c) \frac{8}{3}; d) 0; e) \frac{π}{4} ; f) ln \frac{2e}{1+e}; g) \frac{1}{2}. 8 0. 10 Nie. (Prejdúc k limite za znakom integrálu dostávame nulu. Ak najskôr vypočíta-

me integrál a potom prejdeme k limite, dostávame \frac{1}{2}. Všimnite si, že v bode (0, 0) integrovaná funkcia nie je spojitá.)

13 \frac{1}{2} ln [\frac{y^{2}}{1+y^{2}} ], pre y > 0. V bode y = 0 derivácia neexistuje. 14 Nie. (F′(0) = π, kým derivácia podintegrálnej funkcie podl’a y sa pre y = 0 rovná

nule.)

15 a) 2ye^{−y^{5}} − e^{−y^{3}} − ∫_{y}^{y^{2}} x^{2}e^{−x^{2}y}dx; b) e^{(3y^{2}+1)y} [\frac{1}{y} + \frac{6y}{(3y^{2}+1)}] − \frac{3e^{y^{3}}}{y};

c) e^{y| cos y|} cos y − e^{y| sin y|} sin y + ∫_{sin y}^{cos y} \sqrt{1 − x^{2}}e^{y\sqrt{1−x^{2}}}dx; d) [\frac{1}{b} + \frac{1}{(b+y)}] sin [y(b + y)] − [\frac{1}{a} + \frac{1}{(a+y)}] sin [y(a + y)]; e) (\frac{2}{y} ln(1 + y^{2}); f) f(y, −y) + 2 ∫_{0}^{y} f′_{u}(u, v)dx, kde u = x + y a v = x − y; g) 2y ∫_{y^{2}−y}^{y^{2}+y} sin (t^{2} + y^{4} − y^{2}) dt + 2 ∫_{0}^{y^{2}} sin 2x^{2}. cos 2xydx− 2y ∫_{0}^{y^{2}} dx ∫_{x−y}^{x+y} cos (x^{2} + t^{2} − y^{2}) dt.

16 a) F′′(y) = 3f(y) + 2yf′(y); b) F′′(y) = 2f(y), ak y ∈ (a, b), F′′(y) = 0, ak y ∉ (a, b); c) F′′(y) = \frac{△^{2}f(y)}{h^{2}}, kde △^{2}f(y) = f(y + 2h) − 2f(y + h) + f(y).

17 F^{(n)}(y) = (n − 1)!f(y). 19 4x − \frac{11}{3}. 21 \frac{(n+1)2^{n+1} ln 2−2^{n+1}+1}{(n+1)^{2}}. 23 \frac{b}{8a^{4}} [\frac{5a^{2}+3b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}} + \frac{3}{ab}arctg \frac{b}{a}]. 24 a) π ln \frac{a+\sqrt{a^{2}−1}}{2}; b) π ln \frac{|a|+|b|}{2}; c) 0, ak |a| ≤ 1; π ln a^{2}, ak |a| > 1;

d) \frac{π}{2} sgn a ln (1 + |a|); e) π arcsin a.

25 a) Áno; b) nie; c) áno; d) nie. 26 \frac{π}{2} ln (1 + \sqrt{2}). 27 ln \frac{b+1}{a+1}.

28 a) arctg \frac{b−a}{1+(a+1)(b+1)}; b) \frac{1}{2} ln \frac{b^{2}+2b+2}{a^{2}+2a+2}.

30 a) y > 1; b) y ≥ 0; c) y > 1; d) |\frac{p−1}{q} | < 1; e) y < 1; f) y > \frac{1}{2}.

33 Prepíšte daný integrál ako \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} \frac{sin(y+1)x+sin(y−1)x}{x}dx.

34 a) Konverguje rovnomerne; b) konverguje nerovnomerne.

35 a) Rovnomerne; b) rovnomerne; c) rovnomerne; d) rovnomerne; e) nerovnomerne;

f) rovnomerne; g) nerovnomerne; h) α) rovnomerne; β) nerovnomerne; i) rovnomerne; j) nerovnomerne; k) rovnomerne; l) nerovnomerne.

37 a) Spojitá; b) spojitá; c) nespojitá v ±1; d) spojitá; e) spojitá; f) nespojitá v y = 0.

38 Nie, pretože zámena poradia limity a integrálu dáva ako výsledok 0, kým v skutočnosti je daná limita rovná 1.

39 Ukážte, že pre l’ubovol’né ε > 0 existuje dostatočne vel’ké B a y vyhovujúce podmienke 0 ≤ y ≤ \frac{1}{B} ln \frac{2MB}{2MB−ε} (0 < ε < 2MB), kde M = sup_{0≤x≤B} |f(x)| ≠ 0, tak, že | ∫_{0}^{∞} e^{−yx}f(x)dx − ∫_{0}^{∞} f(x)dx| < ε.

40 Zameňte poradie limity a integrálu a použite substitúciu x = \sqrt{n}.ctg z. Pri počítaní limity, ktorú dostanete, použite Wallisov vzorec.

41 a) 1; b) 1; c) \frac{π}{2} ; d) 0.

42 (−1)^{m} \frac{m!}{n^{m+1}} .

43 \frac{(n−1)!}{y^{n}}.

44 \frac{π}{2y^{2n−1}} \frac{1.3.5...(2n−3)}{2.4.6...(2n−2)}.

45 Návod: Položte xy = t.

47 a) ln \frac{b}{a}; b) 0; c) ln \frac{b}{a}; d) \frac{π}{2} ln \frac{a}{b}.

48 a) \frac{1}{2} ln \frac{b}{a}; b) ln \frac{(2a)^{2a}(2b)^{2b}}{(a+b)^{2a+2b}}; c) arctg \frac{m(b−a)}{ab+m^{2}}; d) \frac{1}{2} ln \frac{b^{2}+m^{2}}{a^{2}+m^{2}} ; e) π (\sqrt{1 − a^{2}} − 1);

f) −π ln \frac{1+\sqrt{1−a^{2}}}{2} ; g) π arcsin a; h) I = \frac{π}{2} sgn (ab) ln \frac{(|a|+|b|)^{|a|+|b|}}{|a|^{|a|}|b|^{|b|}}, ak ab ≠ 0, I = 0, ak ab = 0; i) \frac{π}{|b|} ln (|a| + |b|) , b ≠ 0; j) \frac{2π}{3} [ab (a + b) + a^{3} ln a + b^{3} ln b − (a^{3} + b^{3}) ln (a + b)] , a > 0, b > 0.

50 \frac{\sqrt{π}}{2} . Návod: V integráli I = ∫_{0}^{∞} e^{−t^{2}}dt urobte substitúciu t = xy, x > 0, potom vynásobte e^{−x^{2}} a integrujte v hraniciach 0 ≤ x < +∞. Dostanete vzt’ah I^{2} = ∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}}dx ∫_{0}^{∞} xe^{−x^{2}y^{2}}dy. V integráli na pravej strane využite substitúciu α = x^{2} (y^{2} + 1) a dostanete I^{2} = \frac{1}{2} ∫_{0}^{+∞} \frac{dy}{1+y^{2}} = \frac{π}{4} .

51 a) \sqrt{\frac{π}{a}} e^{− \frac{ac−b^{2}}{a}}; b) \sqrt{\frac{π}{a}} e^{\frac{b^{2}}{4a}}; c) \frac{\sqrt{π}}{2} e^{−2a}; d) \sqrt{π} (\sqrt{b} − \sqrt{a}); e) \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} e^{− \frac{b^{2}}{4a}}; f)

\frac{b}{4a} \sqrt{\frac{π}{a}} e^{− \frac{b^{2}}{4a}}.

52 \frac{π}{2} sgn b. 53 a) π \frac{|b|}{2} − \sqrt{πa}; b) \frac{π}{4} [sgn (a + b) + sgn (a − b)]; c) \frac{1}{2} ln |\frac{a+b}{a−b} |; d) \frac{π}{4} sgn a; e) \frac{π}{2} |a|;

f) \frac{3π}{8} a|a|; g) \frac{π}{4} ; h) \frac{3}{8} ln |\frac{a}{b} |; i) \frac{π}{4} .

54 \frac{π}{2} e^{−|α|}. 55 a) \frac{π}{4} (1 − e^{−2}); b) \frac{π(1+|α|)}{4}e^{−|α|}; c) \frac{π}{\sqrt{ac−b^{2}}} cos \frac{αb}{a}e^{− \frac{|α|}{a} \sqrt{ac−b^{2}}}. 56 \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2}} ; \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2}} . 57 a) \sqrt{\frac{π}{|a|}} sin (\frac{ac−b^{2}}{a} + \frac{π}{4} sgn a); b) \sqrt{π} cos (a^{2} + \frac{π}{4} ); c) \sqrt{π} sin (a^{2} + \frac{π}{4} ). 60 a) \frac{n!}{p^{n+1}} ; b) \frac{\sqrt{π}}{2p\sqrt{p}}; c) \frac{p}{p^{2}+1}; d) ln (1 + \frac{1}{p}); e) \frac{α\sqrt{π}}{2p\sqrt{p}}e^{− \frac{α^{2}}{4p}}. 61 a) \frac{π}{8} ; b) \frac{\sqrt{3}}{60π} Γ^{3} (\frac{1}{3}); c) π \frac{a^{4}}{16} ; d) \frac{π}{(5 sin \frac{2π}{5} )}; e) \frac{2π}{3\sqrt{3}}; f) \frac{π}{2\sqrt{2}}; g) \frac{(2n−1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{π}. 62 a) \frac{π}{n sin \frac{mπ}{n}} , 0 < m < n; b) B (n − m, m) , 0 < m < n;

c) \frac{a^{−p}}{n} (\frac{a}{b})^{\frac{m+1}{n}} B (\frac{m+1}{n}, p − \frac{m+1}{n}) , 0 < \frac{m+1}{n} < p, d) \frac{1}{m}B (\frac{1}{m}, 1 − \frac{1}{n}) , n < 0 alebo n > 1;

e) \frac{1}{2}B (\frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2}) , m > −1, n > −1; f) \frac{π}{2 cos \frac{nπ}{2}} , |n| < 1; g) \frac{1}{|n|}Γ (\frac{m+1}{n}) , \frac{m+1}{n} > 0; h)

Γ (p + 1) , p > −1; i) \frac{d}{dp} [\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}] , p > −1; j) −\frac{π^{2} cos pπ}{sin^{2} pπ} , 0 < p < 1; k) ln |\begin{matrix}tg & \frac{pπ}{2} \\ tg & \frac{qπ}{2} \end{matrix} | , 0 < p <

1, 0 < q < 1; πcotg πp (Návod: Integrál možno chápat’ ako lim_{ε→+0} [B(p, ε) − B(1 − p, ε)].).

63. a) ln \sqrt{2π} (Vyjdite z toho, že daný integrál je možné prepísat’ ako \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} ln [Γ(x)Γ(1 − x)] dx a potom použite vzorec (iii) pre gama - funkciu.) b) ln \sqrt{2π} + a (ln a − 1) (Derivujte daný integrál podl’a parametra a.) c) \frac{1}{π} (1 + ln \frac{π}{2} ) (Prepíšte daný integrál ako \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} ln [Γ(x)Γ(1 − x)] sin πxdx a využite vzorec (iii) pre gama - funkciu.) d) \frac{1}{4n}.

65 Urobte substitúciu x = t^{\frac{1}{n}} a využite spojitost’ gama - funkcie pre x > 0. 66 a) \frac{π|a|^{m−1}}{2Γ(m) cos \frac{mπ}{2}} , a ≠ 0; b) I = \frac{πa}{2|a|^{2−m}Γ(m) sin \frac{mπ}{2}} , ak a ≠ 0, I = 0, ak a = 0. 67 aB (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}). 68 \frac{π\sqrt{2}}{3}. 69 \frac{2a^{2}}{n} \frac{Γ^{2}( \frac{1}{n})}{Γ( \frac{2}{n})}.