Modelovanie volatility (ARCH, GARCH, ...)

http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/2003/index.html

Obsah cvičenia: ARCH - autoregressive conditional heteroskedasticity - ide teda o modelovanie nekonštantnej disperzie GARCH - generalized ARCH Referencie:: ARCH model: Robert F. Engle, Autoregressive Conditional Heteroskedasticity With Estimates of the Variance of U.K. Inflation, Econometrica 50 (1982), pp. 987 - 1008. GARCH model: Tim Bollerslev, Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31 (1986), pp. 307 - 327 Stephen J. Taylor, Modelling Financial Time Series, John Wiley, Chichester, 1986 Ďalšie: [pdf] Zdroj: G. Kirchgässner, J. Wolters: Introduction to Modern Time Series Analysis. Springer 2008. Ukážka použitia pri analýze rizika (VaR - Value at Risk) Niktoré modifikáce a zobšeobecnenia

Príklad: výnosy akcií (Google)

• Dáta: vynosy.wf1 - týždenné výnosy:
  
• Začneme rovnakým postupom, ako sme používali doteraz.
  • Jednotkový koreň zamietame, preto na ARMA modelovanie použijeme priamo časový rad vynos.
  • Autokorelácie a parciálne autokorelácie nie sú signifikantné. Q štatistika nezamieta hypotézu, že v časovom rade nie je autokorelácia.Zdá sa teda, že výnos je konštanta plus biely šum.
    
    Odhadneme tento model:
    
  • Rezíduá a ich Q-štatistiky sú v poriadku.
• Pozrime sa priebeh rezídií:
  
  Vidíme, že ak je absolútna hodnota rezídua malá, tak väčšinou nasleduje rezíduum tiež s malou absolútnou hodnotou. Podobne za rezíduom s veľkou absolútnou hodnotou nasleduje ďalšie rezíduum s absolútnou hodnotou. Môže byť kladné aj záporné, preto sa táto vlastnostť na autokorelácii neprejavila. Ak ale spravíme druhé mocniny rezíduí, na malou hodnotou budú zväčša nasledovať ďalšie malé hodnoty, za veľkou hodnotou veľké. Teda druhé mocniny budú autokorelované. Biely šum však túto vlastnosť nemá.
• Korelácie druhých mocnín rezíduí v EViews:
  
  Výsledok:
  
  Nulová hypozéza Q štatistiky je, že v rade druhých mocnín nie je autokorelácia do rádu k. Vidíme, že túto hypotézu zamietame. Potrebujeme teda model, ktorý umožní takúto vlastnosť. Mala by sa teda meniť disperzia, ktorá je pri bielom šume konštantná.

ARCH a GARCH modely

• Epsilony majú nekonštantnú disperziu:
  
• ARCH(p) model:
  
• GARCH(q,p) model:
  
  Najčastejšie sa používa GARCH(1,1).

Príklad - pokračovanie

• Odhadneme ARCH(1):
  • Pri odhadovaní rovnice zvolíme z ponuky metód ARCH - Autoregressive Conditional Heteroskedasticity:
    
  • Zadáme model, ktorý chceme odhadnúť:
    
  • Zobrazíme korelogram rezíduí a druhých mocnín rezíduí. Nemali by obsahovať žiadnu koreláciu.
     
  • Z korelogramu druhých mocnín vidíme, že model nie je dobrý.
  
  
• Odhadneme GARCH(1,1):
  • Odhad parametrov:
    
  • Rezíduá:
     
    Q-štatistiky v oboch prípadoch zamietajú autokoreláciu, model je dobrý.
  • GARCH modeluje disperziu epsilonov, pozrime sa, ako vyzerá. EViews nám umožňuje zobraziť štandardnú odchýlku:
     
    Ďalšou možnosťou je uložiť hodnoty variancií:
     

Ukážka použitia GARCH modelov: Value at Risk

• Čo je Value at Risk: [pdf]
  Zdroj: P. Jorion: Value at risk. The new benchmark for managing financial risk. 2nd Ed. McGrow-Hill 2001.
• Praktická ukážka:
   
  Zdroj: Jeremy Berkowitz and James O'Brien: How Accurate Are Value-at-Risk Models at Commercial Banks? The Journal of Finance, Vol. 57, No. 3 (Jun., 2002), pp. 1093-1111
• Požitie GARCH modelu na výpočet VAR (z toho istého článku):
   
• Vypočítajte VAR pre nasledujúci týždeň z modelu pre výnosy akcií GOOG (predikcie v Eviews - rovnako ako v predchádzajúcich modeloch: rozšírte rozsah workfilu a v okne s odhadnutou rovnicou kliknite na Forecast)

Ďalšie modely

• The threshold GARCH (TARCH)
  • ε_t > 0 - "good news", ε_t < 0 - "bad news"; TARCH umožňuje, aby mali na volatilitu rôzny vplyv
  • Leverage efekt: "bad news" zvyšujú volatilitu viac
  • TARCH model:
     
    r - threshold order
• The exponential GARCH (EGARCH)
  • Nemodelujeme disperziu, ale jej logaritmus.
  • Tiež umožnuje nesymetrický efekt "good news" a "bad news".
  • EGARCH model:
     
    r - threshold order
• The power GARCH (PARCH)
  • Pôvodná myšlienka: nemodelujeme disperziu, ale štandardnú odchýlku; zovšeobcnenie: modelujeme ľubovoľnú mocninu
  • Tiež umožnuje nesymetrický efekt "good news" a "bad news".
  • PARCH model:
     
    r - threshold order
• Odhad v EViews:
   

Cvičenia

1. Zo stránky http://finance.yahoo.com alebo http://www.google.com/finance si stiahnite dáta inej akcie alebo akciového indexu (upozornenie: po stiahnutí dát sú na začiatku najnovšie dáta).
   • Nájdite model pre výnosy, zistite, či je potrebné použiť model typu ARCH/GARCH. Ak áno, skúšajte rôzne modely, zakaždým otestujte rezíduá a vyberte vhodné modely.
   • Zistite, či je vplyv "good news" a "bad news" rovnaký.
   • Porovnajte odhadnutú štandardnú odchýlku z rôznych modelov - nakoľko sa líšia?
   • Pošlite mi workfile s dátami, ich popis (kód firmy, časový interval, frekvencia - denné, týždenné, ...) a zhrnuté výsledky + vaše mená, dám ich na stránku a budeme môcť porovnať výsledky pre rôzne dáta.

   Použité dáta	Autori	Model
   DELL	Veronika Čoláková, Ladislav Fuchs, Soňa Slobodníková	[doc]
   Dr Pepper Snapple Group Inc.	Adam Biroš, Ladislav Fuchs	[doc]
   Lenovo Group	Adam Řehuřek	[doc]
   IBM	Kamila Hollá, Monika Vaneková	[pdf]

   
   
2. Vráťte sa k modelom, ktoré sme robili na predchádzajúcich cvičeniach. Pozrite sa na korelácie druhých mocnín rezíduí. Ak treba, modelujte epsilon ARCH/GARCH/... procesom.
   
   
3. Ak máte z dát k projektu zostavený ARMA/ARIMA model, zistite, či je potrebné modelovať epsilony pomocou ARCH/GARCH/... procesu. Ak nie, vysvetlite prečo. Ak áno, nájdite vhodný model.