:: Numerické riešenie ::

• Použijeme tú istú transformáciu a implicitnú metódu pri diskretizácii ako v prípade európskych opcií.
• Navyše potrebujeme zaručiť, že riešenie Black-Scholesovej rovnice je nad payoffom. Graf riešenia americkej opcie sa hladko napojí na payoff. Vieme, že európsky call na akciu s dividendami túto vlastnosť nemá:
  
  [Cv.6, cvičenie 1/3]
  
  Takisto ju nemá ani európsky put - bez hlľadu na to, či akcia vypláca alebo nevypláca dividendy (limita ceny opcie je E*exp(-r*tau), čo je pre kladnú úrokovú mieru hodnota pod payoffom). Preto sa cena americého typu týchto derivátov musí líšiť od ceny ich európskych verzií.
• Fakt, že cena americkej opcie musí ležať nad payoffom znamená, že riešenie u rovnice vedenia tepla musí ležať leží nad transformovaným payoffom (t.j. payoffom opcie transformovaným rovnakým spôsobom ako rovnica).

:: Porovnanie numerického oceňovania európskej a americkej opcie ::

Európska opcia - postup riešenia rovnice pre u

• Vypočítame okrajové podmienky a dosadíme ich do matice riešenia.
• Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
• Výpočet ďalšej časovej vrstvy - SOR metóda
  • Začiatočná aproximácia: môžeme zobrať hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy
  • Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua
  • Výpočet novej iterácie podľa SOR metódy - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.

Americká opcia - postup riešenia rovnice pre u

• Vypočítame okrajové podmienky. Riešenie musí byť nad transformovaným payoffom => vypočítame max(okrajová podmienka, transformovaný payoff) a dosadíme do matice riešenia
• Vypočítame začiatočnú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
• Výpočet ďalšej časovej vrstvy - PSOR metóda (projektovaná SOR metóda)
  • Začiatočná aproximácia: hodnoty z predchádzajúcej časovej vrstvy treba porovnať s transformovaným payoffom => zoberieme max(predchádzajúca časová vrstva, transformovaný payoff)
  • Kontrola podmienky na ukončenie iterácií - norma rezídua sa nedá použiť, lebo neriešime sústavu rovníc, použijeme vzdialenosť dvoch nasledujúcich iterácií
  • Výpočet novej iterácie podľa PSOR metódy - vypočítame i-tu zložku vektora pomocou SOR metódy a porovnáme s transformovaným payoffom => zoberieme max(SOR iterácia, transformovaný payoff) a počítame ďalšiu zložku - opakujeme, kým nie je splnená podmienka na ukončenie iterácií, potom prejdeme na ďalšiu časovú vrstvu.

:: Cvičenie ::

Podľa uvedeného algoritmu naprogramujte numerické oceňovanie amerických opcií.

---

Beáta Stehlíková (www)
Cvičenia z finančných derivátov, FMFI UK Bratislava, LS 2009/2010